Az antidifferenciálás

Az antidifferenciálás (más néven határozatlan integrálás) egy matematikában végzett dolog. Ez a differenciálás ellentéte.

Az antiderivátumok általánosságban a méretről tudnak információt adni. Az antidifferenciálást olyan dolgokon végzik, mint az egyenletek. Az antidifferenciálás egy antideriváltnak nevezett dolgot ad. Az antiderivátum egy másik fajta egyenlet. Az antidifferenciálás olyan, mint az integrálás, de korlátok nélkül. Ezért nevezik határozatlannak.

Az antideriváltat így írjuk fel: ∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} {\displaystyle \int x\ dx}

Egyszerű integráció

Az a x n integrálásához {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}

  • Adjunk hozzá 1 egész n hatványát {\displaystyle n} n, így a x n {\displaystyle ax^{n}} {\displaystyle ax^{n}}most a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Osszuk el mindezt az új hatványokkal, így ez most a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Adjunk hozzá c {\displaystyle c}{\displaystyle c} állandót, így ez most a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Ez a következőképpen mutatható ki:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}{n+1}}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Ha sok x {\displaystyle x}x kifejezés van, integráljuk az egyes részeket külön-külön:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Ez csak akkor működik, ha az alkatrészeket hozzáadják vagy elveszik.)

Példák

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

A törtek és gyökök hatványokra való átváltása megkönnyíti a dolgot:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Egy zárójel integrálása ("láncszabály")

Ha egy olyan zárójelet akarsz integrálni, mint ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} {\displaystyle (2x+4)^{3}}, akkor ezt másképp kell tennünk. Ezt hívják láncszabálynak. Ez olyan, mint az egyszerű integrálás. Csak akkor működik, ha az x {\displaystyle x} a xzárójelben 1 hatványú (lineáris), mint például x {\displaystyle x} xvagy 5 x {\displaystyle 5x}. {\displaystyle 5x}(nem x 5 {\displaystyle x^{5}} {\displaystyle x^{5}}vagy x - 7 {\displaystyle x^{-7}} ){\displaystyle x^{-7}}.

A ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Adjunk hozzá 1-et a 3 hatványhoz {\displaystyle 3} {\displaystyle 3}, így ez most ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}} {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Osszuk el mindezt az új hatványokkal, hogy megkapjuk ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Osszuk el mindezt a zárójel deriváltjával ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)} {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}hogy megkapjuk ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Adjunk hozzá c {\displaystyle c}{\displaystyle c} állandót, hogy 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {\1}{8}}(2x+4)^{4}+c}} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Példák

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

Kapcsolódó oldalak

Kérdések és válaszok

K: Mi az az antidifferenciálódás?


V: Az antidifferenciálás (más néven határozatlan integrálás) egy bizonyos függvény megtalálásának folyamata a számtanban. Ez a differenciálás ellentéte, és egy függvény feldolgozását jelenti, hogy egy másik függvényt (vagy függvények osztályát) adjon, amelyet antideriváltnak nevezünk.

K: Hogyan ábrázolják?


V: Az antideriváltakat, amikor egyetlen betűvel ábrázolják, gyakran nagy római betűkkel írják, például F és G. Általában az antideriváltat ∫f(x) dx alakban írják.

K: Mit foglal magában az antidifferenciálás?


V: Az antidifferenciálás során egy függvényt úgy dolgozunk fel, hogy egy másik függvényt (vagy függvények osztályát) kapjunk, amelyet antideriváltnak nevezünk.

K: Miben különbözik az integrálástól?


V: Az antidifferenciálás abban különbözik az integrálástól, hogy nem tartalmaz határértékeket - ezért nevezik határozatlan integrálásnak.

K: Milyen példák vannak arra, hogy az antidifferenciálást hogyan lehet kifejezni?


V: Az antidifferenciálás kifejezésére példa az F és a G, ha egyszerű betűkkel ábrázoljuk, vagy ∫f(x) dx, ha általános formában írjuk.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3