Határozatlan integrál (antidifferenciálás): definíció, jelölés és példa
Határozatlan integrál (antidifferenciálás) – világos definíció, jelölések és gyakorlati példa lépésről lépésre, kezdőknek és haladóknak a jobb megértésért.
Az antidifferenciálás (más néven határozatlan integrálás) a matematikában a differenciálás inverz művelete: adott egy f függvény, és megkeressük azt a F függvényt, amelynek deriváltja éppen f. Az ilyen F-et antideriváltnek vagy primitív függvénynek nevezzük. A határozatlan integrál arra a teljes antiderivált-családra utal, amelyet egy általános konstanssal írunk le.
Az antideriváltak gyakorlati alkalmazásai sokrétűek: információt adhatnak például a függvény nagyságáról vagy méretről, és szerepet játszanak különféle egyenletek megoldásában. Az antidifferenciálás tehát fontos eszköz analízisben és alkalmazott matematika területein. Az antidifferenciálás kapcsolatban áll a határozott integrálással: a határozatlan integrál egy antiderivált családot ad meg, míg a határozott integrál értéket ad meg két határ között.
Jelölés és a konstans
A határozatlan integrált a következő módon jelöljük:
∫ f(x)\,dx
A művelet eredménye egy F függvény, amelyre F'(x)=f(x) teljesül. Fontos, hogy a teljes antiderivált-családot a tágító konstanssal írjuk: F(x)+C, ahol C tetszőleges valós szám. Például az eredeti szövegben szereplő jelölés:
∫ x d x {\displaystyle \int x\ dx} 
Példa
Számoljuk ki: ∫ x dx
Alkalmazva a hatvány-szabályt (lásd lejjebb):
∫ x dx = ∫ x^1 dx = x^(1+1)/(1+1) + C = x^2/2 + C.
Ellenőrzés: (x^2/2)' = x, tehát valóban antiderivált.
Alapintegrálási szabályok (gyakori formulák)
- Lineáris kombináció: ∫(a f(x) + b g(x)) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx.
- Hatványszabály: ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, ahol n ≠ −1.
- Speciális eset: ∫ x^(−1) dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
- Exponenciális: ∫ e^x dx = e^x + C.
- Trigonometrikus: ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C.
Kapcsolat a határozott integrállal
A kalkulus alapvető tétele (a határozatok tétele) összeköti az antideriváltakat a határozott integrállal: ha F egy antideriváltja f-nek az [a,b] intervallumon, akkor
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
Ez a tétel azt jelenti, hogy a határozott integrál kiszámításához elég egy antiderivált megtalálása.
Gyakori módszerek az antidifferenciáláshoz
- Alaptranszformációk: algebrai átalakítások, hatvány- és trigonometrikus azonosságok alkalmazása.
- Substitúció (változócsere): ha integrandusból egy belső függvény U=g(x) kényelmesebben kezelhető, akkor dx-t és x-eket U szerint cserélünk. Példa: ∫ 2x cos(x^2) dx. Legyen u=x^2, du=2x dx, így az integrál ∫ cos u du = sin u + C = sin(x^2) + C.
- Parciális integrálás: alkalmazható szorzatok integrálására: ∫ u dv = u v − ∫ v du.
Megjegyzések és óvatoság
- Az antiderivált csak azokra az x értékekre értelmezett, ahol a függvény és az antiderivált a megfelelő módon definiált; gyakran szükséges figyelembe venni a függvény értelmezési tartományát és esetleges abszolútértékeket (például ln|x| esetén).
- Az antiderivált mindig csak valamelyik derivált visszavezetése: több antiderivált különböző konstansokkal ugyanazt a deriváltat adják, ezért a +C elhagyása hibához vezethet.
- Különböző függvények többféle antideriváltformát is adhatnak, ezért gyakran választunk egyszerű, jól kezelhető primitívfüggvényt.
Összefoglalva: a határozatlan integrál (antidifferenciálás) egy függvény antiderivált-családját adja meg, jelölése ∫ f(x) dx, és eredményéhez mindig hozzá kell adni a konstans integrációs tagot C. Az antideriválás alapszabályai és módszerei lehetővé teszik sokféle integrál kiszámítását és a határozott integrálok értékeinek meghatározását a kalkulus alapvető tételével.
Egyszerű integráció
Az a x n integrálásához {\displaystyle ax^{n}} 
- Adjunk hozzá 1 egész n hatványát {\displaystyle n}
, így a x n {\displaystyle ax^{n}} most a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}} 
- Osszuk el mindezt az új hatványokkal, így ez most a x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}}
- Adjunk hozzá c {\displaystyle c}
állandót, így ez most a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}} 
Ez a következőképpen mutatható ki:
∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}{n+1}}+c} 
Ha sok x {\displaystyle x}
kifejezés van, integráljuk az egyes részeket külön-külön:
∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{5}}}{5}}+c={\frac {2}{7}}}x^{7}-x^{5}+c} 
(Ez csak akkor működik, ha az alkatrészeket hozzáadják vagy elveszik.)
Példák
∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c} 
∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}+c} 
∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}} 
A törtek és gyökök hatványokra való átváltása megkönnyíti a dolgot:
∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c} 
∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}} 
Egy zárójel integrálása ("láncszabály")
Ha egy olyan zárójelet akarsz integrálni, mint ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}} 
, akkor ezt másképp kell tennünk. Ezt hívják láncszabálynak. Ez olyan, mint az egyszerű integrálás. Csak akkor működik, ha az x {\displaystyle x} a zárójelben 1 hatványú (lineáris), mint például x {\displaystyle x} vagy 5 x {\displaystyle 5x}. 
(nem x 5 {\displaystyle x^{5}} 
vagy x - 7 {\displaystyle x^{-7}} )
.
A ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx} 
- Adjunk hozzá 1-et a 3 hatványhoz {\displaystyle 3}
, így ez most ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}} 
- Osszuk el mindezt az új hatványokkal, hogy megkapjuk ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}
- Osszuk el mindezt a zárójel deriváltjával ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}
hogy megkapjuk ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}}(2x+4)^{4}}} 
- Adjunk hozzá c {\displaystyle c} állandót, hogy 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {\1}{8}}(2x+4)^{4}+c}}
Példák
∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)} 
∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)} 
Kapcsolódó oldalak
Kérdések és válaszok
K: Mi az az antidifferenciálódás?
V: Az antidifferenciálás (más néven határozatlan integrálás) egy bizonyos függvény megtalálásának folyamata a számtanban. Ez a differenciálás ellentéte, és egy függvény feldolgozását jelenti, hogy egy másik függvényt (vagy függvények osztályát) adjon, amelyet antideriváltnak nevezünk.
K: Hogyan ábrázolják?
V: Az antideriváltakat, amikor egyetlen betűvel ábrázolják, gyakran nagy római betűkkel írják, például F és G. Általában az antideriváltat ∫f(x) dx alakban írják.
K: Mit foglal magában az antidifferenciálás?
V: Az antidifferenciálás során egy függvényt úgy dolgozunk fel, hogy egy másik függvényt (vagy függvények osztályát) kapjunk, amelyet antideriváltnak nevezünk.
K: Miben különbözik az integrálástól?
V: Az antidifferenciálás abban különbözik az integrálástól, hogy nem tartalmaz határértékeket - ezért nevezik határozatlan integrálásnak.
K: Milyen példák vannak arra, hogy az antidifferenciálást hogyan lehet kifejezni?
V: Az antidifferenciálás kifejezésére példa az F és a G, ha egyszerű betűkkel ábrázoljuk, vagy ∫f(x) dx, ha általános formában írjuk.
Keres