Hilbert-tér
A Hilbert-tér egy matematikai fogalom, amely az euklideszi tér extra-dimenzionális használatát foglalja magában - azaz egy háromnál több dimenzióval rendelkező teret. A Hilbert-tér a két és három dimenzió matematikáját használja arra, hogy megpróbálja leírni, mi történik háromnál nagyobb dimenzióban. Nevét David Hilbertről kapta.
A vektoralgebra és a vektorszámítás olyan módszerek, amelyeket általában a kétdimenziós euklideszi síkban és a háromdimenziós térben használnak. A Hilbert-térben ezek a módszerek tetszőleges véges vagy végtelen számú dimenzióval használhatók. A Hilbert-tér olyan vektortér, amelynek szerkezete egy belső szorzat, amely lehetővé teszi a hossz és a szög mérését. A Hilbert-térnek teljesnek is kell lennie, ami azt jelenti, hogy elegendő határértéknek kell léteznie ahhoz, hogy a számítás működjön.
A legkorábbi Hilbert-tereket a 20. század első évtizedében David Hilbert, Erhard Schmidt és Riesz Frigyes tanulmányozta. John von Neumann találta ki először a "Hilbert-tér" elnevezést. A Hilbert-tér módszerek nagy változást hoztak a funkcionálanalízisben.
A Hilbert-tér a matematikában, a fizikában és a mérnöki tudományokban gyakran jelenik meg, gyakran végtelen dimenziós függvényterekként. Különösen hasznosak a parciális differenciálegyenletek, a kvantummechanika, a Fourier-analízis (amely magában foglalja a jelfeldolgozást és a hőátvitelt) tanulmányozásához. A Hilbert-tereket használják az ergodikus elméletben, amely a termodinamika matematikai alapja. Minden normál euklideszi tér egyben Hilbert-tér is. A Hilbert-tér további példái a négyzetintegrálható függvények terei, a sorozatok terei, az általánosított függvényekből álló Sobolev-tér és a holomorf függvények Hardy-terei.
A Hilbert-tér használható a rezgő húrok felharmonikusainak vizsgálatára.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Hilbert-tér?
A: A Hilbert-tér egy olyan matematikai fogalom, amely a két és három dimenzió matematikáját használja arra, hogy megpróbálja leírni, mi történik háromnál nagyobb dimenzióban. Ez egy vektortér, amelynek belső szorzatszerkezete lehetővé teszi a hossz és a szög mérését, és a számításhoz is teljesnek kell lennie.
K: Ki nevezte el a Hilbert-tér fogalmát?
V: A Hilbert-tér fogalmát először a 20. század elején David Hilbert, Erhard Schmidt és Riesz Frigyes tanulmányozta. John von Neumann volt az, aki kitalálta a "Hilbert-tér" elnevezést.
K: Milyen alkalmazásai vannak a Hilbert-térnek?
V: A Hilbert tereket számos területen használják, például a matematikában, fizikában, mérnöki tudományokban, funkcionálanalízisben, parciális differenciálegyenletek, kvantummechanika, Fourier-analízis (amely magában foglalja a jelfeldolgozást és a hőátvitelt), ergodikus elmélet (a termodinamika matematikai alapja), négyzetintegrálható függvények, sorozatok, általánosított függvényekből álló Sobolev-terek, holomorf függvények Hardy-terei.
Kérdés: Minden normál euklideszi tér egyben Hilbert-térnek is tekinthető?
V: Igen - minden normális euklideszi tér egyben Hilbert-térnek is tekinthető.
K: Miben jelentettek különbséget a Hilbert-térségek a funkcionálanalízisben?
V: A Hilbert-térségek használata nagy változást hozott a funkcionálanalízisben azáltal, hogy új módszereket biztosított az e területhez kapcsolódó problémák vizsgálatához.
K: Milyen típusú matematikai ismeretekre van szükség, ha valaki Hilbert-térrel dolgozik?
V: A vektoralgebrát és a számítást általában akkor használjuk, amikor kétdimenziós euklideszi síkkal vagy háromdimenziós térrel dolgozunk; ezek a módszerek azonban bármely véges vagy végtelen számú dimenzióval is használhatók, amikor Hilbert-térrel foglalkozunk.
