Az algebrai megoldás olyan, a változók együtthatóiból előállítható kifejezés, amely egy algebrai egyenlet gyökeit adja meg. Ilyen megoldás csak véges sok összeadáson, kivonáson, szorzáson, osztáson és gyökkivonáson (négyzetgyök, köbgyök, magasabb gyökök, illetve ezek egymásba ágyazott formái) alapul. Gyakran megengedjük továbbá a komplex számok használatát is, mert sok algebrai formula köztes lépéseiben komplex gyökök szerepelnek.
Algebrai megoldás — mit jelent pontosan?
Algebrai megoldás alatt általában azt értjük, hogy a gyökök a kiinduló együtthatókból úgy írhatók fel, hogy csak a fent felsorolt műveleteket használjuk fel véges sok lépésben. Ezeket a kifejezéseket gyakran radicaloknak (gyök-kifejezéseknek) nevezik. Formálisan: egy polinom gyökei radikális alakban vannak, ha kifejezhetők aritmetikai műveletek és végül gyökkivonások (tetszőleges szintű, egymásba ágyazott gyökök) kombinációjaként.
Kvadratikus képlet
A legismertebb példa az általános kvadratikus egyenlet megoldása. A másodfokú egyenlet általános alakja:
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 
(ahol a ≠ 0). A gyököket a jól ismert kvadratikus képlet adja meg:
x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},} 
A diszkrimináns, Δ = b² − 4ac, megmutatja a gyökök természetét: Δ > 0 esetén két különböző valós gyök, Δ = 0 esetén egyszeres (dupla) valós gyök, Δ < 0 esetén két egymás konjugáltja komplex gyök áll elő.
Köbös és kvartikus egyenletek
A harmadfokú (köbös) egyenlet általános megoldása megtalálható Cardano (és Tartaglia) módszerével; az úgynevezett Cardano-formula gyököket radikális kifejezésekkel adja meg, de előfordulhat, hogy a megoldás közbeiktatott komplex gyököket használ (ez az ún. casus irreducibilis). A negyedfokú (kvartikus) egyenletet Ferrari dolgozta ki; ennek megoldása szintén algebrai (radikális) formában adható meg, de elég bonyolult algebrai lépéseket igényel. Kvartikus egyenlet esetén tehát létezik általános képlet, bár kevésbé praktikus, mint a kvadratikus képlet.
Abel–Ruffini-tétel és következményei
Az Abel–Ruffini-tétel kimondja, hogy nincs általános, a másod-, harmad- és negyedfokúakhoz hasonló, minden ötöd- vagy magasabb fokszámú polinom általános gyökére radikális kifejezést adó formula. Pontosabban: az általános (szimbolikus együtthatókkal megadott) kvintikusnak (ötödfokúnak) és az ennél magasabb fokszámúaknak nincs algebrai megoldása gyök-kifejezések formájában. Ennek megértéséhez fontos a Galois-elmélet: egy polinom gyökei kifejezhetők gyökökkel akkor és csak akkor, ha a polinom Galois-csoportja (a megoldáshalmaz fölötti szimmetriák csoportja) „solvable” (feloldható) csoport.
Ez azonban nem zárja ki, hogy egyes speciális ötöd- vagy magasabb fokszámú egyenletek megoldhatók legyenek radikális kifejezésekkel — csak azt jelenti, hogy nem létezik egyetlen, minden esetben érvényes zárt alakú formula az együtthatók általános jelölésére. Ha a konkrét polinom Galois-csoportja feloldható, akkor létezik algebrai megoldás.
Speciális esetek és példák
Sok speciális egyenlet egyszerűen megoldható radikális kifejezéssel. Például a binomiális egyenletek:
x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}
megoldása egyszerű gyökkifejezéssel adható meg:
x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. } 
Hasonlóan megoldhatók a binomiális típusú egyenletek x^n = a, illetve sok szimmetriával rendelkező polinom (például egyes ciklotómikus vagy redukált formák) is radikálisan feloldhatók.
Amikor nincs algebrai megoldás — alternatív módszerek
Ha egy adott polinomnál nincs algebrai (radikális) megoldás, a gyökök numerikusan közelíthetők. Gyakori módszerek: Newton–Raphson iteráció, Durand–Kerner módszer, különböző numerikus közelítések és számítógépes algebrai rendszerek (CAS) által alkalmazott algoritmusok. A gyakorlatban a numerikus módszerek többféle esetben elegendőek, még akkor is, ha elméletileg nincs zárt alakú radikális kifejezés.
Rövid történeti és elméleti megjegyzések
A köbös és a negyedfokú képletek feltárása a reneszánsz idején tett nagy lépés volt (Tartaglia, Cardano, Ferrari). Az Abel–Ruffini-tétel és a Galois-elmélet a XIX. században helyezte el végleg a kérdést a csoportelmélet és a gyökök szimmetriái szintjén: az egyenletek megoldhatósága radikális kifejezéssel a kapcsolódó Galois-csoport szerkezetétől függ.
Összefoglalva: az algebrai megoldás egy határozott műveleti korlátok közé eső kifejezésforma; másod-, harmad- és negyedfoknál léteznek általános képletek, az általános ötöd- és magasabb fokra azonban nincs minden esetben érvényes radikális formula — kivételek azonban léteznek, és a Galois-elmélet adja meg a pontos feltételeket.