A matematikában az "osztás" a szorzás ellentéte: osztással azt a kérdést válaszoljuk meg, hogy egy adott mennyiséget hány egyenlő részre lehet bontani. Az osztás jelölései lehetnek egy perjel, egy vonal, vagy az osztás jele ( ÷ {\displaystyle \div } {\displaystyle \div }), mint a következőkben:

6 / 3 {\displaystyle 6/3\,} vagy{\displaystyle 6/3\,}6 3 {\displaystyle {\frac {6}{3}}} vagy {\displaystyle {\frac {6}{3}}}6 ÷ 3. {\displaystyle 6\div 3.} vagy {\displaystyle 6\div 3.} {\displaystyle 6\div 3.}

A fenti jelölések mind azt jelentik, hogy "6 osztva 3-mal", az eredmény pedig 2. Pontos terminológiával: az osztási művelet két számból áll — az első a osztandó (a felosztandó mennyiség, például 6), a második az osztó (amivel osztunk, például 3). Az eredmény a hányados (más néven osztószám).

Egész osztás és maradék

Egész számok osztásakor gyakran az a kérdés, hogy az osztandó hányszor tartalmazza az osztót, és esetleg mennyi marad meg. Ilyenkor a végeredmény két részből áll: a hányadosból (egész rész) és a maradékból. A Egész számok esetén a maradékot, a megmaradt részt gyakran "maradéknak" nevezzük.

Példa: 14 ÷ 4 = 3 maradék 2. Ezt a következőképpen is írhatjuk tört vagy vegyes szám formájában: 14/4 = 3 + 2/4 = 3 + 1/2 = 3,5.

Formálisan az Euklideszi osztás tétele szerint tetszőleges egész a és pozitív egész b esetén léteznek és egyértelműek a q (hányados) és r (maradék) olyan egész számok, hogy

  • a = b·q + r,
  • 0 ≤ r < b.

Ez a megfogalmazás biztosítja, hogy a maradék mindig kisebb legyen az osztónál.

Speciális esetek és jelölések

Osztás nullával: osztani 0-val nem értelmezett — nincs olyan szám, amellyel megszorozva a nulla lenne az előzőleg osztandó. Matematikailag tehát a b ≠ 0 feltétel kötelező, ha a ÷ b műveletet értelmezzük.

Egész osztásnál gyakran használjuk a div és mod műveleteket programozásban és számelméletben: a = (a div b)·b + (a mod b), ahol a div b a hányadost adja, a mod b pedig a maradékot.

Számokra vonatkozó példák

A számok lehetnek kicsik vagy nagyon nagyok is. Például:

  • 200 / 5 = 40 — ez azt jelenti, hogy 200 pontosan 40-szer tartalmazza az 5-öt.
  • 7 000 000 000 / 1000 = 7 000 000 — ezzel látható, hogy nagy számok osztása is egyszerűen elvégezhető (a példaban az ezres szorzótényező eltávolításáról van szó). A nagy számokra és nagyságrendi kifejezésekre utalva lásd a milliárd vagy a millió fogalmát.

Gyakorlati módszerek

Hosszú osztás: iskolai módszer, amely lépésről lépésre bontja le az osztást, különösen hasznos, ha nincs egyszerűen látható rövidítés. Számítógépes és kézi módszerek egyaránt ezen az elven alapulnak, csak a végrehajtás részleteiben térnek el.

Szorzás és ellenőrzés: az osztás helyességét könnyen ellenőrizhetjük úgy, hogy a hányadost megszorozzuk az osztóval, majd hozzáadjuk a maradékot — az eredménynek az osztandóval kell egyeznie.

Összefoglalás

Az osztás a szorzás inverze, alapfogalmai az osztandó, az osztó, a hányados és szükség esetén a maradék. Fontos szabályok: osztani 0-val nem lehet, egész osztásnál a maradék kisebb az osztónál, és Euklidesz tétele garantálja a hányados és a maradék egyértelműségét. A mindennapi és elméleti számolások során az osztás nélkülözhetetlen eszköz.