Elektromos fluxus (elektromos áramlás): definíció, Gauss-törvény, SI-egységek

Ismerd meg az elektromos fluxus fogalmát, Gauss-törvényét és SI-egységeit egyszerű magyarázattal, képletekkel és gyakorlati példákkal.

Szerző: Leandro Alegsa

25-12-2025 22:39

Képzeljünk el egy felületen áthaladó E elektromos mezőt. Tekintsünk egy végtelenül kicsi területet (dA) ezen a felületen, amelyen az E állandó marad. Tegyük fel továbbá, hogy az E és dA közötti szög i. Az elektromos áramlást E dA cos(i)-ként határozzuk meg. E és dA vektorok: az áramlás az E és dA ponttermelése. Teljes vektoros jelölést használva, az elektromos fluxus d Φ E {\displaystyle d\Phi _{E}\,} $d\Phi _{E}\,$ egy kis d A területen {\displaystyle d\mathbf {A} } $d\mathbf {A}$ a következő

d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Az S felület feletti elektromos áramlást tehát a felületi integrál adja meg:

Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

ahol E az elektromos mező, dA pedig az S {\displaystyle S} $S$ felület differenciális területe, amelynek irányát egy kifelé néző felületi normális határozza meg.

Iránya és előjel

A dA vektor mindig a felület lokális normálisával mutat, az irányt az adott felület konvenciója határozza meg. Nyílt felületek esetén a normális tetszőlegesen választható; zárt felületeknél (Gauss-felület) azonban a szokásos konvenció az, hogy a normális a felületből kifelé mutat. Ha az E mező komponense a normálissal megegyező irányú, akkor az adott kis területre pozitív fluxus jut; ellentétes irány esetén a fluxus negatív.

Gauss-törvény (integrál- és differenciálalak)

Zárt Gauss-felület esetén az elektromos áramlás a következő:

Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}} $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}$

ahol Q_S a felület által bezárt nettó töltés (beleértve a szabad és a kötött töltést is), ε₀ pedig az elektromos állandó (a vákuum permittivitása). Ezt az összefüggést integrál alakban Gauss elektromos térre vonatkozó törvényének nevezik, és ez a négy Maxwell-egyenlet egyike.

Az integrálalak differenciális formája a helyi kapcsolatot adja meg a tér egy pontjában:

∇ · E = ρ/ε₀,

ahol ρ a térben előforduló teljes töltéssűrűség (szabad + kötött). Ez a forma a Gauss-törvény lokális kifejezése: a tér egy pontjában a villamos térerősség divergenciája arányos a helyi töltéssűrűséggel.

Mikor használható jól a Gauss-törvény számításra?

A Gauss-törvény mindig igaz, de a gyakorlatban csak akkor könnyen használható számításra, ha az elektromos mező nagyfokú szimmetriát mutat (például gömb-, henger- vagy síkszimmetria). Ilyenkor az E nagysága konstans lehet a kiválasztott felületeken, és az integrál egyszerűsödik. Ha nincs ilyen szimmetria, a felületi integrál kézzel nagyon nehezen végezhető el, és általában számítógép segítségével kell megoldani.

Fontos következmények és példák

Ha egy zárt felület belsejében nincs nettó töltés (Q_S = 0), akkor a ∮_S E·dA = 0. Ez azonban nem jelenti feltétlenül azt, hogy E = 0 minden pontban — csupán azt, hogy az összes fluxus pozitív és negatív részei kioltják egymást.
Ponttöltés esetén, ha a töltés a zárt felület belsejében van, a kifelé mutató fluxus értéke független a felület alakjától és távolságától, csak a bezárt töltés nagyságától függ: Φ = Q/ε₀. Ennek gyakorlati következménye, hogy például egy ponttöltés köré rajzolt bármilyen zárt felület fluxusa ugyanaz.
Uniform elektromos mező és síkfelület esetén az áramlás egyszerűen Φ = E·A·cos(i), ahol i a mező és a felület normálisa közti szög.
A fluxus szemléletesen a mezővonalak (erővonalak) számlálásával is magyarázható: a fluxus arányos azzal, hogy hány teregyenes hatol át egy felületen.

Dielektromos anyagok és D-mező

Dielektromos (szerkezeti) töltések jelenléte esetén gyakran hasznos a térerősség helyett a diszplacemet-mezőt (D) vizsgálni. A diszplacemet-mezőre vonatkozó Gauss-törvény a szabad töltésekre adja meg a kapcsolatot:

∮_S D · dA = Q_{free enclosed}.

Ez a forma különösen hasznos anyagon belüli számításoknál, mert a poláris kötött töltések hatását a permittivitás (ε) beépíti a D és E közötti viszonyba (D = ε E egyszerű dielektromos anyag esetén), és a Gauss-integrál csak a szabad töltésre válaszol.

Az elektromos fluxus SI-egységei

Az elektromos fluxus SI-egysége:

V·m (voltméter), mivel E egysége V/m és A területe m², így Φ = (V/m)·m² = V·m.
Alternatív alakban N·m²·C^-1, mert E-t szokás N/C-ban (erő per töltés) is megadni.
Az SI-bázisegységekben kifejezve: kg·m³·s^-3·A^-1. (Ez abból adódik, hogy V = kg·m²·s^-3·A^-1, és V·m megszorozva m-mel adja a fenti eredményt.)

Az elektromos állandó, ε₀, értéke a vákuumban megközelítőleg 8,854187817×10^-12 F·m^-1 (farad per méter), és ez jelenik meg a Gauss-törvény kapcsolójában.

Összefoglalás

Az elektromos fluxus egy felületen áthaladó elektromos tér mennyiségét méri, amit a felületi integrál formálisan ad meg. Zárt felületeknél a Gauss-törvény összekapcsolja a fluxust a belső, nettó töltéssel, és ez az alapja sok elméleti és gyakorlati számításnak az elektrodinamikában. A Gauss-törvény mindig igaz; számításra való egyszerű alkalmazása azonban rendszerint szimmetriát igényel.

Kapcsolódó oldalak

Mágneses fluxus

Kérdések és válaszok

K: Mi az elektromos áramlás?

V: Az elektromos fluxus az E elektromos tér és a dA felület differenciális területének ponttermelése.

K: Hogyan számítják ki az elektromos fluxust?

V: Az elektromos fluxus kiszámítható az EdAcos(i) egyenlet segítségével, ahol E az elektromos mező, dA pedig a felületen lévő végtelenül kicsi terület, amelyen az E állandó marad. Az E és a dA közötti szög i.

K: Mit mond ki Gauss törvénye az elektromos mezőkre?

V: A Gauss-törvény az elektromos terekre azt mondja ki, hogy egy zárt Gauss-felület esetében a rajta áthaladó elektromos áram egyenlő az általa bezárt nettó töltéssel osztva az elektromos állandóval (ε0). Ez az összefüggés minden helyzetben igaz, de csak akkor használható számításokra, ha az elektromos mezőben nagy szimmetriafokok léteznek.

K: Milyen szimmetrikus helyzetekre van példa, amikor a Gauss-törvényt számításokra lehet használni?

V: Ilyen például a gömb- és a hengeres szimmetria.

K: Melyek az elektromos fluxus SI-egységei?

V: Az elektromos fluxus SI-egységei a voltméter (V m) vagy a newtonméter négyzetméter per coulomb (N m2 C-1). Az elektromos fluxus SI-bázisegységei a kg-m3-s-3-A-1.

K: Függ-e az elektromos fluxus a zárt felületen kívüli töltésektől?

V: Nem, az elektromos áramlást nem befolyásolják a zárt felületen kívül elhelyezkedő töltések; azonban a zárt felületen belül befolyásolhatják a nettó elektromos mezőt.

Keres