Képzeljünk el egy felületen áthaladó E elektromos mezőt. Tekintsünk egy végtelenül kicsi területet (dA) ezen a felületen, amelyen az E állandó marad. Tegyük fel továbbá, hogy az E és dA közötti szög i. Az elektromos áramlást E dA cos(i)-ként határozzuk meg. E és dA vektorok: az áramlás az E és dA ponttermelése. Teljes vektoros jelölést használva, az elektromos fluxus d Φ E {\displaystyle d\Phi _{E}\,}{\displaystyle d\Phi _{E}\,} egy kis d A területen {\displaystyle d\mathbf {A} }{\displaystyle d\mathbf {A} } a következő

d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

Az S felület feletti elektromos áramlást tehát a felületi integrál adja meg:

Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

ahol E az elektromos mező, dA pedig az S {\displaystyle S}{\displaystyle S} felület differenciális területe, amelynek irányát egy kifelé néző felületi normális határozza meg.

Iránya és előjel

A dA vektor mindig a felület lokális normálisával mutat, az irányt az adott felület konvenciója határozza meg. Nyílt felületek esetén a normális tetszőlegesen választható; zárt felületeknél (Gauss-felület) azonban a szokásos konvenció az, hogy a normális a felületből kifelé mutat. Ha az E mező komponense a normálissal megegyező irányú, akkor az adott kis területre pozitív fluxus jut; ellentétes irány esetén a fluxus negatív.

Gauss-törvény (integrál- és differenciálalak)

Zárt Gauss-felület esetén az elektromos áramlás a következő:

Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}} {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}}

ahol QS a felület által bezárt nettó töltés (beleértve a szabad és a kötött töltést is), ε0 pedig az elektromos állandó (a vákuum permittivitása). Ezt az összefüggést integrál alakban Gauss elektromos térre vonatkozó törvényének nevezik, és ez a négy Maxwell-egyenlet egyike.

Az integrálalak differenciális formája a helyi kapcsolatot adja meg a tér egy pontjában:

∇ · E = ρ/ε0,

ahol ρ a térben előforduló teljes töltéssűrűség (szabad + kötött). Ez a forma a Gauss-törvény lokális kifejezése: a tér egy pontjában a villamos térerősség divergenciája arányos a helyi töltéssűrűséggel.

Mikor használható jól a Gauss-törvény számításra?

A Gauss-törvény mindig igaz, de a gyakorlatban csak akkor könnyen használható számításra, ha az elektromos mező nagyfokú szimmetriát mutat (például gömb-, henger- vagy síkszimmetria). Ilyenkor az E nagysága konstans lehet a kiválasztott felületeken, és az integrál egyszerűsödik. Ha nincs ilyen szimmetria, a felületi integrál kézzel nagyon nehezen végezhető el, és általában számítógép segítségével kell megoldani.

Fontos következmények és példák

  • Ha egy zárt felület belsejében nincs nettó töltés (QS = 0), akkor a ∮S E·dA = 0. Ez azonban nem jelenti feltétlenül azt, hogy E = 0 minden pontban — csupán azt, hogy az összes fluxus pozitív és negatív részei kioltják egymást.
  • Ponttöltés esetén, ha a töltés a zárt felület belsejében van, a kifelé mutató fluxus értéke független a felület alakjától és távolságától, csak a bezárt töltés nagyságától függ: Φ = Q/ε0. Ennek gyakorlati következménye, hogy például egy ponttöltés köré rajzolt bármilyen zárt felület fluxusa ugyanaz.
  • Uniform elektromos mező és síkfelület esetén az áramlás egyszerűen Φ = E·A·cos(i), ahol i a mező és a felület normálisa közti szög.
  • A fluxus szemléletesen a mezővonalak (erővonalak) számlálásával is magyarázható: a fluxus arányos azzal, hogy hány teregyenes hatol át egy felületen.

Dielektromos anyagok és D-mező

Dielektromos (szerkezeti) töltések jelenléte esetén gyakran hasznos a térerősség helyett a diszplacemet-mezőt (D) vizsgálni. A diszplacemet-mezőre vonatkozó Gauss-törvény a szabad töltésekre adja meg a kapcsolatot:

∮S D · dA = Qfree enclosed.

Ez a forma különösen hasznos anyagon belüli számításoknál, mert a poláris kötött töltések hatását a permittivitás (ε) beépíti a D és E közötti viszonyba (D = ε E egyszerű dielektromos anyag esetén), és a Gauss-integrál csak a szabad töltésre válaszol.

Az elektromos fluxus SI-egységei

Az elektromos fluxus SI-egysége:

  • V·m (voltméter), mivel E egysége V/m és A területe m2, így Φ = (V/m)·m2 = V·m.
  • Alternatív alakban N·m2·C-1, mert E-t szokás N/C-ban (erő per töltés) is megadni.
  • Az SI-bázisegységekben kifejezve: kg·m3·s-3·A-1. (Ez abból adódik, hogy V = kg·m2·s-3·A-1, és V·m megszorozva m-mel adja a fenti eredményt.)

Az elektromos állandó, ε0, értéke a vákuumban megközelítőleg 8,854187817×10-12 F·m-1 (farad per méter), és ez jelenik meg a Gauss-törvény kapcsolójában.

Összefoglalás

Az elektromos fluxus egy felületen áthaladó elektromos tér mennyiségét méri, amit a felületi integrál formálisan ad meg. Zárt felületeknél a Gauss-törvény összekapcsolja a fluxust a belső, nettó töltéssel, és ez az alapja sok elméleti és gyakorlati számításnak az elektrodinamikában. A Gauss-törvény mindig igaz; számításra való egyszerű alkalmazása azonban rendszerint szimmetriát igényel.