Legkisebb négyzetek: módszer, definíció és történeti áttekintés

Átfogó útmutató a legkisebb négyzetek módszeréhez: definíció, matematikai alapok, történeti háttér (Gauss, Legendre) és gyakorlati adatillesztési példák.

A legkisebb négyzetek a matematikában egy olyan eljárás neve, amelynek segítségével egy függvényt több megfigyelt értékből konstruálnak. Az alapötlet az, hogy a függvényt úgy kell megkonstruálni, hogy a megfigyelt érték és az adatpontja közötti különbség összege minimális legyen. Mivel a különbség mindkét irányba mehet, a különbség értékét minden egyes érték esetében négyzetre emeljük.

Carl Friedrich Gauss szerint 1795-ben fejlesztette ki a módszert. Az elveszett 1. Ceres aszteroida visszaszerzéséhez használta, és 1807-ben publikálta. Pierre-Simon Laplace ötleteit használta fel. Adrien-Marie Legendre ugyanezt a módszert önállóan, 1805-ben fejlesztette ki.

Definíció és matematikai megfogalmazás

A legkisebb négyzetek módszere általánosan úgy írható le, hogy van egy paraméterezett modellünk f(x; θ), amely az x bemenetre ad becslést, és rendelkezünk megfigyelésekkel (x_i, y_i), i = 1,...,n. A cél az, hogy olyan θ-paramétert találjunk, amely minimalizálja a négyzetes hibák összegét:

minimize S(θ) = Σ_{i=1}^n (y_i - f(x_i; θ))^2.

Ha a modell lineáris a paraméterekben (például f(x)=a+bx), akkor zárható alakú megoldás létezik: a lineáris regresszió esetén a leíró formulák a következők. Legyen x̄ és ȳ az x és y átlagai, ekkor a meredekség b és az intercept a:

b = (Σ(x_i - x̄)(y_i - ȳ)) / Σ(x_i - x̄)^2,

a = ȳ - b x̄.

Általános lineáris esetben mátrixos formában írva Aθ ≈ y, a normálegyenletek:

A^T A θ = A^T y.

Numerikailag stabilabb módszerek a QR-felbontás vagy a SVD (szinguláris érték felbontás), amelyek elkerülik a A^T A kondíciószámának rontását.

Történeti áttekintés (bővebb)

A módszer történetéhez több nevezetes név kapcsolódik. Carl Friedrich Gauss azt állította, hogy már 1795 körül alkalmazta az eljárást, és híresen a 1. Ceres pályájának kiszámítására használta. Ezzel kapcsolatban voltak viták és eltérések a pontos publikációs dátumok és a felfedezéskor használt bizonyítások tekintetében. Adrien‑Marie Legendre 1805‑ben önállóan közölte a módszert (Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes), míg Gauss később részletesebb elméleti hátteret adott a módszernek. Pierre‑Simon Laplace szintén hozzájárult a statisztikai megközelítések és a hibák kezelésének fejlődéséhez.

Összefoglalva: a módszer kialakulása több tudós munkájának eredménye, és a 19. század elejére vált általánosan elfogadott matematikai eszközzé a csillagászatban, geodéziában és később a statisztikában és alkalmazott tudományokban.

Gyakorlati variánsok és numerikus módszerek

• Súlyozott legkisebb négyzetek (WLS): ha a megfigyeléseknek különböző megbízhatóságuk van, akkor súlyokat w_i adunk, és minimalizáljuk Σ w_i (y_i - f(x_i))^2.
• Nemlineáris legkisebb négyzetek: ha f nemlineáris θ-ban, iteratív algoritmusokat használnak, pl. Gauss–Newton vagy Levenberg–Marquardt algoritmusokat.
• Numerikus stabilitás: a közvetlen normálegyenletek helyett gyakori a QR‑faktorozás vagy a SVD alkalmazása a pontosabb és stabilabb megoldásért.
• Regularizáció: Ridge (L2) és LASSO (L1) megoldások bevezethetők, ha túlillesztés vagy multikollinearitás miatt szükséges a paraméterek korlátozása.

Alkalmazások

• Adatillesztés és regresszió az üzleti- és társadalomtudományokban
• Csillagászat és geodézia (pályaszámítások, mérések kiegyenlítése)
• Műszaki mérések és kalibráció
• Jelfeldolgozás és gépi tanulás (például lineáris regresszió, ridge regression)
• Gazdaságtan, ökonometria és idősortelemzés

Előnyök és korlátok

• Előny: egyszerűsége és zárt formájú megoldása sok lineáris problémánál gyors és hatékony.
• Előny: jól értelmezhető statisztikai tulajdonságok (pl. Gauss–Markov tétel alapján az OLS a legjobb lineáris, torzítatlan becslő feltételek mellett).
• Korlát: érzékeny lehet kiugró értékekre (outlierek), ilyenkor robusztus becslések (M‑becslők, RANSAC) lehetnek megfelelőbbek.
• Korlát: feltételezi, hogy a megfigyelési hibák függetlenek és azonos szórásúak (homoszkedaszticitás); ennek hiánya torzíthatja az eredményeket.

Rövid összefoglaló

A legkisebb négyzetek módszere alapvető eszköz az adatok modellezésében: egyszerű, jól megértett eljárás, amely számos területen alkalmazható. A gyakorlati alkalmazás során érdemes figyelembe venni a modellfeltevéseket, a numerikus stabilitást és a kiugró értékek esetleges hatását, továbbá szükség esetén súlyozott, nemlineáris vagy regularizált változatokat alkalmazni.

Keresés betűvel