Az egységvektor olyan vektor, amelynek hossza egy egység.
Az egységvektorokat gyakran ugyanúgy jelöljük, mint a normálvektorokat, de a betű fölött egy jelet teszünk (pl. a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }
az a egységvektora).
Egy vektor egységvektorrá alakításához osszuk el a hosszával: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } 
Jelölés és alapfogalmak
Az egységvektorokat általában a tetejükön kis „kalap”-jellel jelöljük: â, û, vagy vastag betűvel és kalappal: â. Matematikailag egy vektor u egységvektorát úgy kapjuk, hogy a vektort leosztjuk a normájával (hosszával): û = u / ‖u‖. Ilyenkor biztos, hogy ‖û‖ = 1.
Hogyan számítjuk ki az egységvektort (normalizálás)
Leggyakrabban az euklideszi normát használjuk: egy n-dimenziós vektor u = (u1, u2, ..., un) hossza
‖u‖ = sqrt(u1² + u2² + ... + un²).
Ezután az egységvektor komponensenként:
- û = (u1/‖u‖, u2/‖u‖, ..., un/‖u‖).
Fontos: a zérusvektort (u = 0) nem lehet normalizálni, mert a ‖u‖ = 0 ellenére nem értelmezett az osztás nullával.
Példák
- 2D példa: u = (3, 4). Itt ‖u‖ = sqrt(3² + 4²) = 5, így az egységvektor û = (3/5, 4/5).
- 3D példa: v = (1, 2, 2). Itt ‖v‖ = sqrt(1 + 4 + 4) = 3, tehát v̂ = (1/3, 2/3, 2/3).
- Ha w = (−2, 0, 2), akkor ‖w‖ = sqrt(4 + 0 + 4) = sqrt(8) = 2√2, és ŵ = (−2/(2√2), 0, 2/(2√2)) = (−1/√2, 0, 1/√2).
Tulajdonságok és alkalmazások
- Iránymérés: az egységvektor csak az irányt hordozza; a hossz információt eltávolítjuk.
- Skalárproblémák elkerülése: fizikai mennyiségek (pl. sebesség iránya) esetén gyakran használjuk az egységvektorokat.
- Ortonormált bázis: ha egy vektorrendszer vektora mindegyike egységvektor és páronként merőleges, akkor ortonormált bázist kapunk; ez sok számításnál egyszerűsítést jelent.
- Normálvektorok: felületekhez, görbékhez rendelt normálokat általában egységvektorként szokás megadni (egységnormál), hogy egyértelmű legyen a tájolás.
- Projektálás: a vektor vetülete egy adott irányra gyakran az egységvektorral vett skalárszorzat segítségével számítható: a•û = ‖a‖ cosθ, ahol û egységvektor.
Numerikus és gyakorlati megfontolások
Számítógépes számításoknál ügyelni kell arra, hogy nagyon kicsiny normájú vektornál az osztás numerikusan instabil lehet. Ilyen esetben előfordulhat, hogy érdemes a számítás előtt ellenőrizni a normát, vagy normalizálás helyett más numerikus eljárást alkalmazni.
Összefoglaló
Az egységvektor tehát egy iránytípusú vektor, amelynek hossza pontosan 1. Normalizálással bármely nem zérus vektorból kapható egységvektor a vektor irányának megtartásával. Az egységvektorok központi szerepet játszanak a vektoralgebra, a geometria és a fizika számos területén.
