Egységvektor – definíció, jelölés és vektor normalizálása

Egységvektor: mi az, hogyan jelöljük és hogyan normalizáljuk a vektort lépésről lépésre matematikai példákkal és képletekkel — gyors, érthető magyarázat.

Szerző: Leandro Alegsa

05-12-2025 21:40

Az egységvektor olyan vektor, amelynek hossza egy egység.

Az egységvektorokat gyakran ugyanúgy jelöljük, mint a normálvektorokat, de a betű fölött egy jelet teszünk (pl. a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} } $\mathbf {\hat {a}}$ az a egységvektora).

Egy vektor egységvektorrá alakításához osszuk el a hosszával: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } ${\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert$

Jelölés és alapfogalmak

Az egységvektorokat általában a tetejükön kis „kalap”-jellel jelöljük: â, û, vagy vastag betűvel és kalappal: â. Matematikailag egy vektor u egységvektorát úgy kapjuk, hogy a vektort leosztjuk a normájával (hosszával): û = u / ‖u‖. Ilyenkor biztos, hogy ‖û‖ = 1.

Hogyan számítjuk ki az egységvektort (normalizálás)

Leggyakrabban az euklideszi normát használjuk: egy n-dimenziós vektor u = (u1, u2, ..., un) hossza

‖u‖ = sqrt(u1² + u2² + ... + un²).

Ezután az egységvektor komponensenként:

û = (u1/‖u‖, u2/‖u‖, ..., un/‖u‖).

Fontos: a zérusvektort (u = 0) nem lehet normalizálni, mert a ‖u‖ = 0 ellenére nem értelmezett az osztás nullával.

Példák

2D példa: u = (3, 4). Itt ‖u‖ = sqrt(3² + 4²) = 5, így az egységvektor û = (3/5, 4/5).
3D példa: v = (1, 2, 2). Itt ‖v‖ = sqrt(1 + 4 + 4) = 3, tehát v̂ = (1/3, 2/3, 2/3).
Ha w = (−2, 0, 2), akkor ‖w‖ = sqrt(4 + 0 + 4) = sqrt(8) = 2√2, és ŵ = (−2/(2√2), 0, 2/(2√2)) = (−1/√2, 0, 1/√2).

Tulajdonságok és alkalmazások

Iránymérés: az egységvektor csak az irányt hordozza; a hossz információt eltávolítjuk.
Skalárproblémák elkerülése: fizikai mennyiségek (pl. sebesség iránya) esetén gyakran használjuk az egységvektorokat.
Ortonormált bázis: ha egy vektorrendszer vektora mindegyike egységvektor és páronként merőleges, akkor ortonormált bázist kapunk; ez sok számításnál egyszerűsítést jelent.
Normálvektorok: felületekhez, görbékhez rendelt normálokat általában egységvektorként szokás megadni (egységnormál), hogy egyértelmű legyen a tájolás.
Projektálás: a vektor vetülete egy adott irányra gyakran az egységvektorral vett skalárszorzat segítségével számítható: a•û = ‖a‖ cosθ, ahol û egységvektor.

Numerikus és gyakorlati megfontolások

Számítógépes számításoknál ügyelni kell arra, hogy nagyon kicsiny normájú vektornál az osztás numerikusan instabil lehet. Ilyen esetben előfordulhat, hogy érdemes a számítás előtt ellenőrizni a normát, vagy normalizálás helyett más numerikus eljárást alkalmazni.

Összefoglaló

Az egységvektor tehát egy iránytípusú vektor, amelynek hossza pontosan 1. Normalizálással bármely nem zérus vektorból kapható egységvektor a vektor irányának megtartásával. Az egységvektorok központi szerepet játszanak a vektoralgebra, a geometria és a fizika számos területén.

Komponens formájában

Három gyakori, komponens formában használt egységvektor az i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } $\mathbf {\hat {i}}$ , j ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} } $\mathbf {\hat {j}}$ és k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } $\mathbf {\hat {k}}$ , amelyek az x-, y- és z-tengelyek egységvektoraira utalnak. Ezeket általában csak i, j és k alakban jegyzik.

Ezek a következőképpen írhatók le: i ^ = [ 1 0 0 ] , j ^ = [ 0 1 0 ] , k ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\,\mathbf {\hat {k}}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}} $\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}}$

Kérdések és válaszok

K: Mi az az egységvektor?

V: Az egységvektor minden olyan vektor, amelynek hossza egy.

K: Hogyan szokták jelölni az egységvektorokat?

V: Az egységvektorokat általában ugyanúgy jegyzik, mint a normál vektorokat, de a betű fölött egy körzővel.

K: Hogyan lehet egy vektort egységvektorrá alakítani?

V: Ahhoz, hogy egy vektort egységvektorrá alakítsunk, el kell osztanunk a hosszával.

K: Mi lesz az eredménye annak, ha egy vektort egységvektorrá alakítunk?

V: Az így kapott egységvektor az eredeti vektorral azonos irányú lesz.

K: Van példa arra, hogyan kell egységvektort jelölni?

V: Igen, például v^{\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } a v{\displaystyle \mathbf {v} } egységvektor jelölése. .

K: Minden vektorból lehet egységvektort csinálni?

V: Igen, bármely típusú vektor egységvektorrá alakítható, ha elosztjuk a hosszával.

Keres