Schwarzschild-metrika
A Schwarzschild-metrikát Karl Schwarzschild 1916-ban számította ki Einstein mezőegyenleteinek megoldásaként. Schwarzschild-megoldásként is ismert, az általános relativitáselmélet egyik egyenlete az asztrofizika területén. A metrika a téridőt leíró egyenletre utal; különösen a Schwarzschild-metrika írja le a Schwarzschild-féle fekete lyuk körüli gravitációs mezőt - egy nem forgó, gömb alakú, mágneses mező nélküli fekete lyuk, ahol a kozmológiai állandó nulla.
Ez lényegében egy egyenlet, amely leírja, hogyan mozog egy részecske a fekete lyuk közelében lévő térben.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}}} 
Levezetés
Bár a Schwarzschild-metrika kiszámításának bonyolultabb módja megtalálható a Christoffel-szimbólumok segítségével, a szökési sebesség ( v e {\displaystyle v_{e}}
), az idődilatáció (dt') és a hosszösszehúzódás (dr') egyenletei segítségével is levezethető:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {\frak {2GM}{r}}}} 
(1)
v a részecske sebessége
G a gravitációs állandó
M a fekete lyuk tömege
r az, hogy a részecske milyen közel van a nehéz tárgyhoz.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' a részecske valódi időbeli változása
dt a részecske időbeli változása
dr' a valódi megtett távolság
dr a részecske távolságbeli változása
v a részecske sebessége
c a fénysebesség
Megjegyzés: a részecske által megtett valódi időintervallum és távolság eltér a klasszikus fizika számításai szerint számított időtől és távolságtól, mivel a részecske egy ilyen erős gravitációs mezőben halad!
A gömbi koordinátákban sík téridőre vonatkozó egyenletet használva:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds a részecske útja
θ {\displaystyle \theta }
a szög
d θ {\displaystyle \theta } és d ϕ {\displaystyle \phi }
a szögek változása.
A szökési sebesség, az idődilatáció és a hosszösszehúzódás egyenleteinek (1., 2. és 3. egyenlet) beírása a lapos téridő egyenletébe (4. egyenlet), hogy megkapjuk a Schwarzschild-metrikát:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Ebből az egyenletből kivehetjük a Schwarzschild-sugarat ( r s {\displaystyle r_{s}}
), a fekete lyuk sugarát. Bár ezt leggyakrabban a Schwarzschild-féle fekete lyuk leírására használják, a Schwarzschild-sugár bármely nehéz objektumra kiszámítható.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} az objektum beállított sugara.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Schwarzschild-metrika?
V: A Schwarzschild-metrika az asztrofizika területén az általános relativitáselméletből származó egyenlet, amely leírja, hogyan mozog egy részecske a fekete lyuk közelében lévő térben. Karl Schwarzschild számította ki 1916-ban Einstein mezőegyenleteinek megoldásaként.
K: Mire utal a metrika?
V: A metrika a téridőt leíró egyenletre utal; különösen a Schwarzschild-metrika írja le a Schwarzschild-féle fekete lyuk körüli gravitációs mezőt.
K: Milyen jellemzői vannak a Schwarzschild-féle fekete lyuknak?
V: A Schwarzschild-féle fekete lyuk nem forog, gömb alakú, és nincs mágneses mezeje. Ezenkívül kozmológiai állandója nulla.
K: Hogyan írható le a Schwarzschild-féle fekete lyuk körüli gravitációs mező?
V: A Schwartzschild-metrikus egyenlet segítségével írhatjuk le, amely leírja, hogyan mozognak a részecskék a térben az ilyen típusú fekete lyukak közelében.
K: Ki számította ki először ezt az egyenletet?
V: Karl Schwartzchild 1916-ban számította ki először ezt az egyenletet Einstein mezőegyenleteinek megoldásaként.
K: Mit jelent ebben az egyenletben a (ds)^2?
V: A (ds)^2 a téridő két pontja közötti távolságot jelenti, az idő- és térkoordinátákhoz képest mérve.
