Schwarzschild-metrika — definíció, képlet és jelentés a fekete lyukaknál
Schwarzschild-metrika: definíció, képlet és jelentés a fekete lyukaknál — részletes magyarázat, matematikai levezetés és fizikai következmények a nem forgó fekete lyukaknál.
A Schwarzschild-metrikát Karl Schwarzschild 1916-ban számította ki Einstein mezőegyenleteinek megoldásaként. Schwarzschild-megoldásként is ismert, az általános relativitáselmélet egyik egyenlete az asztrofizika területén. A metrika a téridőt leíró egyenletre utal; különösen a Schwarzschild-metrika írja le a Schwarzschild-féle fekete lyuk körüli gravitációs mezőt - egy nem forgó, gömb alakú, mágneses mező nélküli fekete lyuk, ahol a kozmológiai állandó nulla.
Ez lényegében egy egyenlet, amely leírja, hogyan mozog egy részecske a fekete lyuk közelében lévő térben.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}}} 
Képlet és jelölések
A fenti metrika komponensei a gömbi koordinátarendszerben (t, r, θ, φ) vannak megadva. A jelölések jelentése:
- ds — téridőben mért négyzetes távolság (a vonalelem),
- c — a fénysebesség vákuumban,
- G — univerzális gravitációs állandó,
- M — a központi tömeg (a fekete lyuk tömege),
- t, r, θ, φ — idő és gömbi térbeli koordináták (r a sugár, θ a polárszög, φ az azimutális szög).
Fontos bevezetni a Schwarzschild-sugarat:
- rs = 2GM / c² — ez az a sugár, ahol a Schwarzschild-koordinátákban a g_tt és g_rr komponensek szingularitást mutatnak (ez lesz a fekete lyuk eseményhorizontja a klasszikus értelmezésben).
A metrika komponensei explicit módon:
- g_tt = -c²(1 - rs / r),
- g_rr = 1 / (1 - rs / r),
- g_θθ = r²,
- g_φφ = r² sin²θ.
Fizikai jelentés a fekete lyukaknál
A Schwarzschild-metrika több alapvető jelenséget ír le, amelyek fontosak fekete lyukaknál és erős gravitációs mezőkben:
- Eseményhorizont: r = rs = 2GM/c² helyén a Schwarzschild-koordinátákban a metrika komponensei "diverzálnak", ez az eseményhorizont helye. Fontos: ez a divergens viselkedés koordinátaszingularitás, nem fizikai divergencia — egy eső megfigyelő helyi mérőműszerrel nem tapasztal divergens mennyiségeket átlépéskor.
- Fizikai szingularitás: r = 0-nál valóban fizikai szingularitás található (a görbületi skalárok, például a Kretschmann-skálár divergensek), ahol az általános relativitáselmélet klasszikus formája megszűnik érvényesnek.
- Idődilatáció: a távoli megfigyelőhöz képest a közel a horizonthoz lévő órák lassabban járnak; az időkomponens g_tt miatt a koordinátaidő és proper idő közötti kapcsolat változik.
- Fényelhajlás és gravitációs vöröseltolódás: fény sugarak ívben térülnek el, és a fekete lyuk közeléből érkező fotonok energiája csökken a távoli megfigyelő számára (vöröseltolódás).
- Fotonszféra: a fénypályák számára stabil körpálya nincs; a fotonszféra sugara r = 3GM/c² = 1.5 rs, ahol körpályán keringhetnek fényhez közeli sugarak (ez instabil körpálya a fény számára).
- Innermost stable circular orbit (ISCO): a tömeges részecskék stabil keringési pályájának legbelső határa r = 6GM/c² = 3 rs (a Schwarzschild esetben).
Tulajdonságok és korlátok
- Szimmetria és statikus jelleg: a Schwarzschild-metrika gömbszimmetrikus és stacionárius (time-translation invariáns) megoldás, tehát a rendszer nem forog és időben nem változik.
- Vákuummegoldás: ez egy vákuummegoldás (T_{μν} = 0) — a metrika a tömeget magába foglaló forrástartományon kívül érvényes. A tömeget a metrika aszimptotikus viselkedése határozza meg (ADM-tömeg).
- Aszimptotikusan lapos: nagy r-nél a téridő lapos (M → 0 esetén visszatér a Minkowski-téridőbe).
- Korlátok: a Schwarzschild-megoldás ideális eset: nem tartalmaz töltést (elektromos), nem veszi figyelembe a forgást (a valós fekete lyukak általában forognak — ezekre a Kerr-metrika vonatkozik), és nem tartalmaz kozmológiai állandót (Schwarzschild–de Sitter általánosítás létezik).
Különböző koordinátarendszerek és kiterjesztések
A Schwarzschild-koordináták hasznosak, de a r = rs helyen koordinátaszingularitást mutatnak. Ezt elkerülve használhatók:
- Eddington–Finkelstein vagy Kruskal–Szekeres koordináták — ezekkel a teljes külső és belső régió folyamatos módon leírható, és az eseményhorizont átlépése analitikusan kiterjeszthető.
Mozgás, geodetikusok és megfigyelési hatások
A Schwarzschild-metrika alapján a teszt részecskék geodetikus egyenletei adódnak; ezek konzervált mennyiségekhez (energia és impulzusmomentum) kapcsolódnak a stacionaritás és tengelyszimmetria miatt. Néhány jellegzetes hatás:
- Perihelion-precesszió: bolygópályák perihéliuma előreprecesszál a Newtoni pályához képest (ez mérhető Merkúrnál),
- Fényelhajlás: a csillagfény a Nap körüli tömeg által elhajlik — az általános relativitás egyik korai bizonyítéka,
- Szabad esés: a horizontot átlépő szabadon eső megfigyelő helyi értelemben nem érez semmi különöset az átlépésnél; a külső, távoli megfigyelő számára azonban az eső test "lelassul" és vörösödik, sosem látja azt átlépni a horizontot (koordinátaeffektus).
Alkalmazások és megfigyelések
A Schwarzschild-metrika alapvető modellként szolgál számos asztrofizikai alkalmazásban: a csillagok pályáinak vizsgálata körül egy kompakt tömeg, egyszerűsített modellezés fekete lyukak külső régiójában, valamint didaktikus példa a relativisztikus hatásokra. A valós fekete lyukak (például a Sagittarius A* a Tejútrendszer közepén vagy az LIGO által észlelt kettős fekete lyukak) viselkedése gyakran közelebb áll a forgó (Kerr) megoldáshoz, de a Schwarzschild-megoldás fontos kiindulópont és határ eset.
Rövid történeti és elméleti megjegyzés
Karl Schwarzschild 1916-ban, a relativitáselmélet korai éveiben adta meg ezt a megoldást, amely az egyik első egzakt megoldása Einstein mezőegyenleteinek. A megoldás két paraméterrel nem rendelkezik: csak a tömeggel (M) — emiatt a klasszikus "no-hair" egyszerűsített képzetével is összhangban áll (azonban további fizikai jellemzők, mint spin és töltés, más megoldásoknál jelennek meg).
Összefoglalva: a Schwarzschild-metrika alapvetően leírja, hogyan módosul a téridő egy gömbszimmetrikus, nem forgó tömeg körül. Bár egyszerűsített modell, a benne rejlő fizikák — eseményhorizont, idődilatáció, fényelhajlás, belső szingularitás — kulcsfontosságúak a modern fekete lyuk fizikában és megfigyelésben.
Levezetés
Bár a Schwarzschild-metrika kiszámításának bonyolultabb módja megtalálható a Christoffel-szimbólumok segítségével, a szökési sebesség ( v e {\displaystyle v_{e}}
), az idődilatáció (dt') és a hosszösszehúzódás (dr') egyenletei segítségével is levezethető:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {\frak {2GM}{r}}}} 
(1)
v a részecske sebessége
G a gravitációs állandó
M a fekete lyuk tömege
r az, hogy a részecske milyen közel van a nehéz tárgyhoz.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' a részecske valódi időbeli változása
dt a részecske időbeli változása
dr' a valódi megtett távolság
dr a részecske távolságbeli változása
v a részecske sebessége
c a fénysebesség
Megjegyzés: a részecske által megtett valódi időintervallum és távolság eltér a klasszikus fizika számításai szerint számított időtől és távolságtól, mivel a részecske egy ilyen erős gravitációs mezőben halad!
A gömbi koordinátákban sík téridőre vonatkozó egyenletet használva:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds a részecske útja
θ {\displaystyle \theta }
a szög
d θ {\displaystyle \theta } és d ϕ {\displaystyle \phi }
a szögek változása.
A szökési sebesség, az idődilatáció és a hosszösszehúzódás egyenleteinek (1., 2. és 3. egyenlet) beírása a lapos téridő egyenletébe (4. egyenlet), hogy megkapjuk a Schwarzschild-metrikát:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Ebből az egyenletből kivehetjük a Schwarzschild-sugarat ( r s {\displaystyle r_{s}}
), a fekete lyuk sugarát. Bár ezt leggyakrabban a Schwarzschild-féle fekete lyuk leírására használják, a Schwarzschild-sugár bármely nehéz objektumra kiszámítható.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} az objektum beállított sugara.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Schwarzschild-metrika?
V: A Schwarzschild-metrika az asztrofizika területén az általános relativitáselméletből származó egyenlet, amely leírja, hogyan mozog egy részecske a fekete lyuk közelében lévő térben. Karl Schwarzschild számította ki 1916-ban Einstein mezőegyenleteinek megoldásaként.
K: Mire utal a metrika?
V: A metrika a téridőt leíró egyenletre utal; különösen a Schwarzschild-metrika írja le a Schwarzschild-féle fekete lyuk körüli gravitációs mezőt.
K: Milyen jellemzői vannak a Schwarzschild-féle fekete lyuknak?
V: A Schwarzschild-féle fekete lyuk nem forog, gömb alakú, és nincs mágneses mezeje. Ezenkívül kozmológiai állandója nulla.
K: Hogyan írható le a Schwarzschild-féle fekete lyuk körüli gravitációs mező?
V: A Schwartzschild-metrikus egyenlet segítségével írhatjuk le, amely leírja, hogyan mozognak a részecskék a térben az ilyen típusú fekete lyukak közelében.
K: Ki számította ki először ezt az egyenletet?
V: Karl Schwartzchild 1916-ban számította ki először ezt az egyenletet Einstein mezőegyenleteinek megoldásaként.
K: Mit jelent ebben az egyenletben a (ds)^2?
V: A (ds)^2 a téridő két pontja közötti távolságot jelenti, az idő- és térkoordinátákhoz képest mérve.
Keres