Principia Mathematica: Whitehead és Russell — a matematikai logika alapműve
Principia Mathematica — Whitehead és Russell alapműve: a matematikai logika háromkötetes, történelmi jelentőségű műve, amely az axiomatikus és szimbolikus logika alapjait fektette le.
Isaac Newton fizikai alaptörvényeket tartalmazó könyvét lásd: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Emlékszem, hogy Bertrand Russell mesélt nekem egy szörnyű álmot. Az egyetemi könyvtár legfelső emeletén volt, körülbelül 2100 körül. Egy könyvtári asszisztens egy hatalmas vödörrel a kezében járkált a polcok között, könyveket vett le, megnézte őket, visszatette a polcokra, vagy a vödörbe dobta őket. Végül három nagy kötethez ért, amelyekről Russell felismerte, hogy a Principia Mathematica utolsó fennmaradt példányai. Levette az egyik kötetet, átlapozott néhány oldalt, egy pillanatra zavarba jött a különös szimbolizmus miatt, becsukta a kötetet, a kezében egyensúlyozott, és tétován.....
Hardy, G. H. (2004) [1940]. Egy matematikus bocsánatkérése. Cambridge: University Press. p. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.
A Principia Mathematica Alfred North Whitehead és Bertrand Russell háromkötetes műve a matematika alapjairól. A mű 1910-ben, 1912-ben és 1913-ban jelent meg. 1927-ben jelent meg második kiadásban, a második kiadás fontos bevezetőjével és különböző jegyzetekkel a végén. Gyakran PM néven ismert.
Mi volt a célja és alapgondolata?
A Principia Mathematica fő célja az volt, hogy a matematika minden részét (elméletileg) a szimbolikus logika axiómáinak és következtetési szabályainak egy pontosan megadott készletéből levezesse. Ez az irányzat a logizmus (logicism) néven ismert filozófiai álláspont része: a matematika lényege logikai természetű, és a számelmélet, a halmazelmélet, a számok és az analízis elméletei végső soron logikai tételekké redukálhatók.
Tartalom és szerkezet
A három kötet részletes, formális felépítést ad. Röviden:
- Az első kötet a formális logika rendszerét, az állítások és függvények nyelvét, a predikátumlogikát, az osztály- és relációelmélet alapjait tárgyalja.
- A második és harmadik kötetek az aritmetika, a kardinális és ordinális számok, továbbá a valós számok és az analízis alapozásának formális levezetéseit tartalmazzák, valamint bonyolultabb logikai szerkezeteket és következményeket dolgoznak fel.
- A mű jellemzője a rendkívül részletes, lépésről lépésre történő levezetés: a szerzők számos jól ismert állítást — például a természetes számok alapvető tételeit — hosszadalmas logikai szekvenciák révén bizonyítanak. (A legismertebb illusztráció erre a hosszú, formális levezetés arról, hogy 1+1=2.)
Főbb elméleti megoldások és eszközök
A PM két döntő eszközt vezetett be vagy alkalmazott:
- A típuselmélet (ramified theory of types): a paradoxonok, különösen a Russell-paradoxon elkerülése érdekében a kifejezések és osztályok hierarchiáját vezették be, hogy megakadályozzák az önhivatkozó halmazok létrejöttét.
- Az egyszerűsítő axióma — az Axioma of Reducibility: ennek bevezetésével a szerzők a típuselmélet túlzott merevségét próbálták mérsékelni, ugyanakkor ennek filozófiai és technikai vitái máig tartanak.
Előzmények és inspiráció
A PM erősen épített Gottlob Frege korábbi munkáira, de hatottak rá Whitehead és Russell korábbi írásai, valamint a századforduló matematikai-logikai fejleményei (Peano formalizmusai, halmazelméleti kérdések stb.).
Russell-paradoxon és a válasz
A Russell-paradoxon (az önmagát tartalmazó halmaz problémája) közvetlenül motiválta a típuselmélet bevezetését. A PM egyik fontos célja volt a paradoxonok kiküszöbölése oly módon, hogy megőrizze a matematikai levezetések formális biztonságát. Ez részben sikeresnek bizonyult, de a megoldás nem volt mentes problémáktól (például az Axiom of Reducibility bevezetése filozófiailag vitatott).
Fogadtatás, kritikák és hatás
A Principia Mathematica nagy hatással volt a 20. századi logikára, matematikára és analitikus filozófiára. Hozzájárult a matematikai logika fejlődéséhez, a formális bizonyítások szigorának növeléséhez és a filozófiai vizsgálódások elmélyítéséhez. Ugyanakkor többen kritizálták:
- a mű stilisztikailag és notációban nehézkes, sokak szerint túl bonyolult és nehezen olvasható;
- a típuselmélet és az Axiom of Reducibility egyesek szerint mesterségesnek vagy túl korlátozónak tűnt;
- a célzott „minden matematikai igazság levezetése” ambíciója végül nem teljesült.
Gödel és a befejezetlenségi tételek
1931-ben Kurt Gödel befejezetlenségi tételei kimutatták, hogy a PM-hez hasonló formális rendszerek esetében lényeges korlátok vannak: ha a rendszer következetes, akkor tartalmaz olyan állításokat, amelyek sem nem bizonyíthatók, sem nem cáfolhatók a rendszer axiómain belül; ha pedig teljes, akkor ellentmondásossá válik. Röviden: Gödel eredménye megmutatta, hogy a logizmus eredeti nagy célkitűzése, miszerint "minden matematikai igazság formálisan levezethető", nem teljesíthető a tervezett módon.
Kiadványok, második kiadás és források
A mű első kiadása 1910–1913 között jelent meg három kötetben; a második, 1927-es kiadás fontos bevezetővel és kiegészítésekkel szolgált. A mű gyakran hivatkozott, idézett szöveg a matematika és filozófia történetében. A Modern Library a huszadik század 100 legjobb angol nyelvű nonfiction könyve közé sorolta (23. hely).
Örökség és mai jelentőség
Ma a Principia Mathematica elsősorban történeti és elméleti fontossággal bír: bemutatja a formalizmus fejlődését, a logika precizálására tett erőfeszítéseket és a típuselmélet korai variánsait. A matematika alapozásáról folytatott viták ma is élnek (pl. halmazelméleti axiómák, intenzionális vs. extencionális nézetek, típuselméletek modern változatai), és sok modern formális rendszer — bár eltérő megközelítéssel — azokra az alapvető kérdésekre reflektál, amelyeket Whitehead és Russell is felvetett.
A PM egyik fontos kulturális emlékezetdarabja is: gyakran idézik példaként arra, hogy a matematikai gondolkodás és a filozófiai ambíciók milyen mértékben képesek egymásra hatni — még akkor is, ha végül a program részben módosításra vagy korlátozásra szorul.
A PM nem tévesztendő össze Russell 1903-as Principles of Mathematics című művével. A PM kimondja: "A jelen művet eredetileg úgy terveztük, hogy ... a Principles of Mathematics második kötete legyen... De ahogy haladtunk előre, egyre nyilvánvalóbbá vált, hogy a téma nagyon sokkal nagyobb, mint azt feltételeztük...".
A Modern Library a 23. helyre sorolta a huszadik század 100 legjobb angol nyelvű nonfiction könyvét tartalmazó listáján.
A Principia Mathematica rövidített változatának címlapja *56-ra rövidítve
Kérdések és válaszok
K: Mi a címe Isaac Newton könyvének?
V: Isaac Newton könyvének címe: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
K: Ki írta a Principia Mathematica című könyvet?
V: A Principia Mathematica című könyvet Alfred North Whitehead és Bertrand Russell írta.
K: Mikor jelent meg a Principia Mathematica?
V: A Principia Mathematica 1910-ben, 1912-ben és 1913-ban jelent meg.
K: Mit gondoltak a szerzők, mit tudtak kezdeni a könyvvel?
V: A szerzők úgy gondolták, hogy a könyvvel leírhatják az axiómák, következtetési szabályok és a szimbolikus logika ellentmondásmentességi törvényének olyan készletét, amelyből elvileg minden matematikai igazság bizonyítható.
K: Hogyan bizonyította Gödel befejezetlenségi tétele, hogy ez a cél lehetetlen?
V: Gödel befejezetlenségi tétele bebizonyította, hogy a javasolt axiómák és következtetési szabályok bármelyik halmaza esetében vagy a rendszernek inkonzisztensnek kell lennie, vagy pedig a matematikának valójában léteznie kell olyan igazságoknak, amelyek nem vezethetők le belőlük. Ezért bebizonyosodott, hogy ezt az ambiciózus projektet lehetetlen elérni.
K: Ki inspirálta és motiválta PM-et?
V: A PM-et Gottlob Frege korábbi logikai munkája inspirálta és motiválta.
K: Miben különbözik a PM Russell 1903-as Principles of Mathematics című művétől?
V: A PM azért különbözik Russell 1903-as Principles of Mathematics című művétől, mert a PM szerint "A jelen művet eredetileg úgy szántuk, hogy ... a Principles of Mathematics második kötete legyen...". De ahogy haladtunk előre, egyre nyilvánvalóbbá vált, hogy a téma nagyon sokkal nagyobb, mint azt feltételeztük...".
Keres