Hiperbolikus geometria — nem euklideszi tér: definíció, axiómák és modellek

Hiperbolikus geometria — nem euklideszi tér: világos definíciók, axiómák és modellek. Ismerd meg a párhuzamosság új értelmét, modellek bizonyításait és alkalmazásait.

Szerző: Leandro Alegsa

06-01-2026 23:47

A matematikában a hiperbolikus geometria a nem euklideszi geometria egyik alapvető típusa: az euklideszi geometriában használt párhuzamos posztulátum helyett egy másik axiómarendszert vesz fel. Az euklideszi geometriában a párhuzamossági posztulátum kimondja, hogy a síkon bármely adott l egyenes és az l-en kívüli P pont esetében pontosan egy olyan egyenes halad át P, amely nem metszi az l-t; ezt az egyenest az l-lel párhuzamosnak nevezzük. A hiperbolikus geometriában ezzel szemben legalább két, egymástól különböző olyan egyenes halad át P, amelyek nem metszik az l-t. Mivel ezek nem metszik az l-t, az euklideszi párhuzamos posztulátum nem érvényes, és ennek következményei jelentősek: a sík metrikai és topológiai tulajdonságai gyökeresen eltérnek az euklideszi esetektől.

Alapfogalmak és axiómák

A hiperbolikus geometria axiómarendszere sokban hasonlít az euklidesziéhez, de a párhuzamosságra vonatkozó posztulátum helyére egy alternatív állítás lép. Röviden:

Vannak pontok és egyenesek, egy egyenes két pontját összekötő szakasz egyértelműen létezik.
A geometriában érvényesek a sík alapvető incidenciatematikai szabályai (két pont meghatároz egy egyenest stb.).
A párhuzamosság helyett: adott egy egyenes l és egy l-en kívüli pont P, legalább két egyenes halad át P, amelyek nem metszik l. (Ebből lesznek az úgynevezett aszimptotikus és ultraparallel egyenesek, ld. lent.)

Gyakran a hiperbolikus geometriát úgy is jellemezzük, hogy a sík helyi görbülete konstans negatív; ezt a görbületi jellemzőt a metrikus közelítések és a modellek jól tükrözik.

Fontos tulajdonságok

Negatív állandó görbület: a hiperbolikus sík konstans negatív görbülettel rendelkezik. Szokásos normalizálásban ez a görbület −1.
Háromszögek szögeinek összege: bármely hiperbolikus háromszög belső szögeinek összege szigorúan kisebb, mint 180° (π radián).
Terület és szögetorzulás: ha a görbület −1, akkor egy háromszög területe egyenesen arányos a belső szögek hiányával: terület = π − (α + β + γ). Általános konstans görbület K esetén a képlet K-val arányos.
Távolság és exponenciális növekedés: a körök kerülete és a körlap területe exponenciálisan növekszik a sugárral, ellentétben az euklideszi négyzetes növekedéssel.
Geodetikusok: az egyenesek (geodetikusok) a hiperbolikus tér „egyenesei” — a legrövidebb utak. A modellektől függően ezek lehetnek körívek, egyenes szakaszok vagy más görbék a modellben.

Paralelizmus — terminológia

Mivel az euklideszi párhuzamos egyeneseknek nincs hiperbolikus analógja, a párhuzamos és a kapcsolódó kifejezések hiperbolikus használata az egyes szerzők között változik. Ebben a cikkben a két határvonalat aszimptotikusnak, a közös merőlegessel rendelkező egyeneseket pedig ultraparalellnek nevezzük; az egyszerű párhuzamos szó mindkettőre alkalmazható.

Röviden: két egyenes aszimptotikus, ha végtelenben egy közös pont felé tartanak (egy határponton találkoznak), ultraparallel, ha nem metszenek és nincsen közös határpontjuk; aszimptotikus egyeneseknek van egy közös érintőjük a határon, az ultraparallel egyeneseknek pedig létezik egy közös merőlegesük.

Modellek — hogyan mutatjuk meg a konzisztenciát

A hiperbolikus geometria konzisztenciájának bizonyítására különböző modelleket építettek az euklideszi síkon belül. Ezek a modellek belső ellentmondásmentességet adnak: ha az euklideszi geometria következetes, akkor a hiperbolikus axiómák is következetesek. A legismertebb modellek:

Beltrami–Klein modell: a nyílt egységkorong belsejében dolgozik; az egyenesek a korongot elválasztó euklideszi szakaszok (kordák). Az előnye az, hogy egyenesekként valóban euklideszi egyeneseket látunk, de nem konzerválja a szögeket.
Poincaré-korong modell: az egységkorong belseje ismét, de ebben a modellben a geodetikusok olyan körívszakaszok (vagy átmérők), amelyek ortogonálisan metszenek a határon; ez a modell konform (megőrzi a szögeket), és különösen alkalmas analitikus és komplex módszerekre.
Poincaré-félsík modell: a felső fél sík (Im z > 0) használata, ahol a geodetikusok függőleges egyenesek vagy a valós tengelyre merőlegesen metsző körök; az izometriák itt Möbius-transzformációk, amelyek a fenti modellt a korong modellre viszik át.

Ezek a modellek különböző szempontból mutatják be ugyanazt a hiperbolikus geometriát; mindegyik hasznos más-más problémákhoz (metrikai számításokhoz, szögekhez, rendszeres képi ábrázoláshoz stb.).

Topológia és különleges görbék

A hiperbolikus geometriában megjelennek olyan speciális görbék és fogalmak, amelyek az euklideszi geometriában nem léteznek vagy mást jelentenek:

Horokörök és horociklusok: ezek olyan görbék, amelyek egy határponthoz „tartanak” végtelenben, és sok szerepet játszanak dinamikai és ergodikus kérdésekben.
Hyperciklusok (equidistant görbék): egy egyeneshez egyenlő távolságra lévő görbék, amelyek nem geodetikusok, de konzisztens módon definiálhatók.
Isometriák és diszkrét csoportok: a hiperbolikus sík izomorfizmusai — az izometriák — gazdag csoportelméleti struktúrát adnak, és ezek vizsgálata összekapcsolódik a Kleinféle csoportokkal, Riemann-felületekkel és háromdimenziós topológiával.

Történet röviden

A hiperbolikus geometria felfedezése a 19. század elejére tehető: János Bolyai és Nikolaj Ivanovics Lobacsevszkij független alakban fejlesztették ki az euklideszi posztulátum alternatíváját, míg Beltrami adta meg az első modelleket, amelyekkel az euklideszi geometrián belül meg lehetett mutatni a nem-euklideszi geometria következetességét. Később Poincaré és Klein fejlesztettek ki további modelleket és összekapcsolásokat komplex analízissel és csoportelmélettel.

Alkalmazások és kapcsolódó területek

Matematikai relativitáselméletben és általános relativitás kontextusában a negatív görbületű modellek fontosak bizonyos kozmológiai és helyi térgeometriai vizsgálatokhoz.
Algebrai topológiában és geometriai csoportelméletben a hiperbolikus terek és diszkrét izometriacsoportok (például Kleinféle és Fuchsián csoportok) kulcsszerepet játszanak.
Komplex analízis és Riemann-felületek: a Poincaré-modellek kapcsolatban állnak a moduláris formákkal és a komplex dinamikával.

Összefoglalás

A hiperbolikus geometria a klasszikus euklideszi gondolkodástól eltérő, de belsőleg koherens és gazdag elmélet. A párhuzamossági posztulátum eltörlése új jelenségekhez vezet (háromszögek szögösszegének csökkenése, exponenciális területi növekedés, aszimptotikus és ultraparallel vonalak), miközben a különböző modellek megmutatják, hogy a hiperbolikus axiómák ellentmondásmentes kiterjesztést adnak a klasszikus geometriához.

Hiperbolikus háromszög

Egy adott P ponton áthaladó és az l egyenesre aszimptotikus egyenesek.

Nem metsző vonalak

A hiperbolikus geometria egy érdekes tulajdonsága következik abból, hogy egy P ponton keresztül egynél több párhuzamos egyenes halad át: a nem metsző egyeneseknek két osztálya van. Legyen B az a pont az l-en, amelyre a PB egyenes merőleges az l-re. Tekintsük az x egyenest P-n keresztül úgy, hogy x nem metszi az l-t, és a PB és az x között a PB-től az óramutató járásával ellentétes irányban a θ szög a lehető legkisebb; azaz bármilyen kisebb szög arra kényszeríti az egyenest, hogy metszi az l-t. Ezt a hiperbolikus geometriában aszimptotikus egyenesnek nevezzük. Szimmetrikusan az y egyenes, amely ugyanolyan θ szöget zár be a PB és önmaga között, de a PB-től az óramutató járásával megegyező irányban, szintén aszimptotikus lesz. x és y az egyetlen két egyenes, amely P-n keresztül az l-re aszimptotikus. A P-n átmenő minden más egyenest, amely nem metszi az l-t, és amelynek a PB-vel θ-nél nagyobb szöge van, ultraparalellnek (vagy diszjunkt párhuzamosnak) nevezzük az l-hez. Vegyük észre, hogy mivel θ és 90 fok között végtelen sok lehetséges szög van, és mindegyik meghatároz két P-n áthaladó, l-lel diszjunkt párhuzamos egyenest, végtelen sok ultraparalel egyenes létezik.

Így a párhuzamos posztulátumnak ez a módosított formája áll fenn: A hiperbolikus geometriában bármely l egyenes és az l-en kívül eső P pont esetén pontosan két olyan egyenes halad át P-n, amely az l-re aszimptotikus, és végtelenül sok olyan egyenes, amely P-n keresztül az l-re ultraparalel.

Az ilyen típusú egyenesek közötti különbségeket a következőképpen is vizsgálhatjuk: az aszimptotikus egyenesek közötti távolság az egyik irányban nullára fut, a másik irányban pedig korlátlanul növekszik; az ultraparalel egyenesek közötti távolság mindkét irányban növekszik. Az ultraparalell tétel kimondja, hogy a hiperbolikus síkban van egy egyedi egyenes, amely egy adott ultraparalell egyenespár mindegyikére merőleges.

Az euklideszi geometriában a párhuzamossági szög egy állandó; vagyis a párhuzamos egyenesek $\lVert BP\rVert$ közötti ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } távolság 90°-os párhuzamossági szöget eredményez. A hiperbolikus geometriában a párhuzamossági szög a Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} $\Pi (p)$ függvénnyel változik. Ez a Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij által leírt függvény minden p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } távolsághoz egyedi párhuzamossági szöget eredményez. $p=\lVert BP\rVert$ . A távolság csökkenésével Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 90°-hoz $\Pi (p)$ közelít, míg a távolság növekedésével Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 0°-hoz $\Pi (p)$ közelít. Így a távolságok csökkenésével a hiperbolikus sík egyre inkább úgy viselkedik, mint az euklideszi geometria. Valójában a 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} ${\frac {1}{\sqrt {-K}}}$ , ahol K {\displaystyle K\! } $K\!$ a sík (állandó) Gauss-görbülete, egy megfigyelőnek nehéz lenne eldöntenie, hogy az euklideszi vagy a hiperbolikus síkban van-e.

Történelem

Számos geométer tett kísérletet a párhuzamos posztulátum bizonyítására, köztük Omar Khayyám, később Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert és Legendre. Kísérleteik kudarcot vallottak, de erőfeszítéseik nyomán született meg a hiperbolikus geometria. Alhacen, Khayyám négyszögekre vonatkozó tételei voltak a hiperbolikus geometria első tételei. A hiperbolikus geometriával kapcsolatos munkáik hatással voltak a későbbi európai geométerek, köztük Witelo, Alfonso és John Wallis fejlődésére.

A XIX. században a hiperbolikus geometriát Bolyai János és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij kutatta, akiről néha a nevét is kapta. Lobacsevszkij 1830-ban publikált, míg Bolyai önállóan fedezte fel és 1832-ben publikálta. Karl Friedrich Gauss is tanulmányozta a hiperbolikus geometriát, egy 1824-es, Taurinushoz írt levelében leírta, hogy megkonstruálta, de munkáját nem publikálta. Eugenio Beltrami 1868-ban modelleket adott róla, és ezt felhasználva bebizonyította, hogy a hiperbolikus geometria konzisztens, ha az euklideszi geometria az.

A "hiperbolikus geometria" kifejezést Felix Klein vezette be 1871-ben. További előzményekért lásd a nem-euklideszi geometria szócikket.

A hiperbolikus sík modelljei

A hiperbolikus geometriára három modellt használnak általában: a Klein-modellt, a Poincaré-korongmodellt és a Lorentz-modellt vagy hiperboloid-modellt. Ezek a modellek egy olyan valós hiperbolikus teret határoznak meg, amely megfelel a hiperbolikus geometria axiómáinak. Az elnevezések ellenére a két korongmodellt és a félsíkmodellt Beltrami vezette be a hiperbolikus tér modelljeként, nem pedig Poincaré vagy Klein.

A Klein-modell, amelyet projektív korongmodellnek és Beltrami-Klein-modellnek is neveznek, egy kör belsejét használja a hiperbolikus síkhoz, a kör akkordjait pedig egyenesekként.
A Poincaré-féle félsík modell az euklideszi sík egyik felét, amelyet egy B euklideszi egyenes határoz meg, a hiperbolikus síknak tekinti (maga B nem szerepel).

A hiperbolikus egyenesek ekkor vagy B-re merőleges félkörök, vagy B-re merőleges sugarak.
Mindkét Poincaré-modell megőrzi a hiperbolikus szögeket, és ezáltal konformális. E modelleken belül tehát minden izometria Möbius-transzformáció.
A félsík modell (a határon) megegyezik a Poincaré korong modellel a korong szélén.
Ez a modell közvetlenül alkalmazható a speciális relativitáselméletre, mivel a Minkowski 3-tér a téridő modellje, amely elnyom egy térbeli dimenziót. A hiperboloidot tekinthetjük úgy, hogy az eseményeket ábrázolja, amelyeket a különböző mozgó megfigyelők egy térbeli síkban egy pontból kifelé sugározva egy rögzített sajátidő alatt érnek el. A hiperboloid két pontja közötti hiperbolikus távolság ekkor azonosítható a két megfelelő megfigyelő közötti relatív gyorsasággal.

A nagy rombiteres {3,7} csempe Poincaré korong modellje

A hiperbolikus geometria szemléltetése

M. C. Escher híres grafikái, a Circle Limit III és Circle Limit IV jól illusztrálják a konformális korongmodellt. Mindkettőn láthatók a geodéziák. (A III. ábrán a fehér vonalak nem geodéziák, hanem hiperciklusok, amelyek mellettük futnak). A hiperbolikus sík negatív görbülete is jól látható a háromszögek és négyzetek szögeinek összegére gyakorolt hatásán keresztül.

Az euklideszi síkban a szögeik összege 450°, azaz egy kör és egy negyed. Ebből látható, hogy a hiperbolikus síkban egy háromszög szögeinek összege kisebb kell, hogy legyen 180°-nál. Egy másik látható tulajdonság az exponenciális növekedés. A IV. körhatárban például láthatjuk, hogy a középponttól n távolságon belül lévő angyalok és démonok száma exponenciálisan növekszik. A démonok egyenlő hiperbolikus területtel rendelkeznek, tehát egy n sugarú gömb területének exponenciálisan kell nőnie n-ben.

A hiperbolikus sík (vagy annak közelítése) fizikailag többféleképpen is megvalósítható. Egy különösen ismert, pszeudoszférán alapuló papírmodell William Thurston nevéhez fűződik. A horgolás művészetét is felhasználták a hiperbolikus síkok szemléltetésére, az elsőt Daina Taimina készítette. 2000-ben Keith Henderson egy gyorsan elkészíthető papírmodellt mutatott be, amelyet "hiperbolikus focilabdának" neveztek el.

A korallzátonyokat utánzó horgolt hiperbolikus síkok gyűjteménye az Institute For Figuring által.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a hiperbolikus geometria?

V: A hiperbolikus geometria nem euklideszi geometria, ami azt jelenti, hogy az euklideszi geometriát meghatározó párhuzamos posztulátum nem igaz. Egy hiperbolikus síkon a párhuzamosan induló egyenesek egyre távolabb kerülnek egymástól.

K: Miben különbözik a hiperbolikus geometria a közönséges síkbeli geometriától?

V: Ha az euklideszi geometria szabályát a hiperbolikus geometria szabályával helyettesítjük, az azt jelenti, hogy az eltér a közönséges síkbeli síkgeometriától. Például a háromszögek szögei 180 foknál kevesebbet fognak összeadni, ami azt jelenti, hogy túlságosan hegyesek lesznek, és úgy fognak kinézni, mintha az oldalak középre süllyednének.

Kérdés: Vannak olyan valós tárgyak, amelyek olyan alakúak, mint egy hiperbolikus sík darabjai?

V: Igen, egyes korallok és saláták úgy néznek ki, mint egy hiperbolikus sík darabjai.

K: Miért lehet könnyebb megrajzolni az internet térképét, ha a térkép nem lapos?

V: Azért lehet könnyebb megrajzolni az internet térképét, ha a térkép nem lapos, mert a széleken több számítógép van, de a közepén nagyon kevés.

K: Ez a koncepció a számítógépes hálózatok feltérképezésén kívül másra is alkalmazható?

V: Egyes fizikusok szerint az univerzumunk is egy kicsit hiperbolikus.

Keres