Hiperbolikus geometria — nem euklideszi tér: definíció, axiómák és modellek

A hiperbolikus geometria egy érdekes tulajdonsága következik abból, hogy egy P ponton keresztül egynél több párhuzamos egyenes halad át: a nem metsző egyeneseknek két osztálya van. Legyen B az a pont az l-en, amelyre a PB egyenes merőleges az l-re. Tekintsük az x egyenest P-n keresztül úgy, hogy x nem metszi az l-t, és a PB és az x között a PB-től az óramutató járásával ellentétes irányban a θ szög a lehető legkisebb; azaz bármilyen kisebb szög arra kényszeríti az egyenest, hogy metszi az l-t. Ezt a hiperbolikus geometriában aszimptotikus egyenesnek nevezzük. Szimmetrikusan az y egyenes, amely ugyanolyan θ szöget zár be a PB és önmaga között, de a PB-től az óramutató járásával megegyező irányban, szintén aszimptotikus lesz. x és y az egyetlen két egyenes, amely P-n keresztül az l-re aszimptotikus. A P-n átmenő minden más egyenest, amely nem metszi az l-t, és amelynek a PB-vel θ-nél nagyobb szöge van, ultraparalellnek (vagy diszjunkt párhuzamosnak) nevezzük az l-hez. Vegyük észre, hogy mivel θ és 90 fok között végtelen sok lehetséges szög van, és mindegyik meghatároz két P-n áthaladó, l-lel diszjunkt párhuzamos egyenest, végtelen sok ultraparalel egyenes létezik.

Így a párhuzamos posztulátumnak ez a módosított formája áll fenn: A hiperbolikus geometriában bármely l egyenes és az l-en kívül eső P pont esetén pontosan két olyan egyenes halad át P-n, amely az l-re aszimptotikus, és végtelenül sok olyan egyenes, amely P-n keresztül az l-re ultraparalel.

Az ilyen típusú egyenesek közötti különbségeket a következőképpen is vizsgálhatjuk: az aszimptotikus egyenesek közötti távolság az egyik irányban nullára fut, a másik irányban pedig korlátlanul növekszik; az ultraparalel egyenesek közötti távolság mindkét irányban növekszik. Az ultraparalell tétel kimondja, hogy a hiperbolikus síkban van egy egyedi egyenes, amely egy adott ultraparalell egyenespár mindegyikére merőleges.

Az euklideszi geometriában a párhuzamossági szög egy állandó; vagyis a párhuzamos egyenesek közötti ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } távolság 90°-os párhuzamossági szöget eredményez. A hiperbolikus geometriában a párhuzamossági szög a Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} függvénnyel változik. Ez a Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij által leírt függvény minden p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } távolsághoz egyedi párhuzamossági szöget eredményez. . A távolság csökkenésével Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 90°-hoz közelít, míg a távolság növekedésével Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} 0°-hoz közelít. Így a távolságok csökkenésével a hiperbolikus sík egyre inkább úgy viselkedik, mint az euklideszi geometria. Valójában a 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , ahol K {\displaystyle K\! } a sík (állandó) Gauss-görbülete, egy megfigyelőnek nehéz lenne eldöntenie, hogy az euklideszi vagy a hiperbolikus síkban van-e.

Számos geométer tett kísérletet a párhuzamos posztulátum bizonyítására, köztük Omar Khayyám, később Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert és Legendre. Kísérleteik kudarcot vallottak, de erőfeszítéseik nyomán született meg a hiperbolikus geometria. Alhacen, Khayyám négyszögekre vonatkozó tételei voltak a hiperbolikus geometria első tételei. A hiperbolikus geometriával kapcsolatos munkáik hatással voltak a későbbi európai geométerek, köztük Witelo, Alfonso és John Wallis fejlődésére.

A XIX. században a hiperbolikus geometriát Bolyai János és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij kutatta, akiről néha a nevét is kapta. Lobacsevszkij 1830-ban publikált, míg Bolyai önállóan fedezte fel és 1832-ben publikálta. Karl Friedrich Gauss is tanulmányozta a hiperbolikus geometriát, egy 1824-es, Taurinushoz írt levelében leírta, hogy megkonstruálta, de munkáját nem publikálta. Eugenio Beltrami 1868-ban modelleket adott róla, és ezt felhasználva bebizonyította, hogy a hiperbolikus geometria konzisztens, ha az euklideszi geometria az.

A "hiperbolikus geometria" kifejezést Felix Klein vezette be 1871-ben. További előzményekért lásd a nem-euklideszi geometria szócikket.

A hiperbolikus geometriára három modellt használnak általában: a Klein-modellt, a Poincaré-korongmodellt és a Lorentz-modellt vagy hiperboloid-modellt. Ezek a modellek egy olyan valós hiperbolikus teret határoznak meg, amely megfelel a hiperbolikus geometria axiómáinak. Az elnevezések ellenére a két korongmodellt és a félsíkmodellt Beltrami vezette be a hiperbolikus tér modelljeként, nem pedig Poincaré vagy Klein.

1. A Klein-modell, amelyet projektív korongmodellnek és Beltrami-Klein-modellnek is neveznek, egy kör belsejét használja a hiperbolikus síkhoz, a kör akkordjait pedig egyenesekként.
2. A Poincaré-féle félsík modell az euklideszi sík egyik felét, amelyet egy B euklideszi egyenes határoz meg, a hiperbolikus síknak tekinti (maga B nem szerepel).
• A hiperbolikus egyenesek ekkor vagy B-re merőleges félkörök, vagy B-re merőleges sugarak.
• Mindkét Poincaré-modell megőrzi a hiperbolikus szögeket, és ezáltal konformális. E modelleken belül tehát minden izometria Möbius-transzformáció.
• A félsík modell (a határon) megegyezik a Poincaré korong modellel a korong szélén.
• Ez a modell közvetlenül alkalmazható a speciális relativitáselméletre, mivel a Minkowski 3-tér a téridő modellje, amely elnyom egy térbeli dimenziót. A hiperboloidot tekinthetjük úgy, hogy az eseményeket ábrázolja, amelyeket a különböző mozgó megfigyelők egy térbeli síkban egy pontból kifelé sugározva egy rögzített sajátidő alatt érnek el. A hiperboloid két pontja közötti hiperbolikus távolság ekkor azonosítható a két megfelelő megfigyelő közötti relatív gyorsasággal.

M. C. Escher híres grafikái, a Circle Limit III és Circle Limit IV jól illusztrálják a konformális korongmodellt. Mindkettőn láthatók a geodéziák. (A III. ábrán a fehér vonalak nem geodéziák, hanem hiperciklusok, amelyek mellettük futnak). A hiperbolikus sík negatív görbülete is jól látható a háromszögek és négyzetek szögeinek összegére gyakorolt hatásán keresztül.

Az euklideszi síkban a szögeik összege 450°, azaz egy kör és egy negyed. Ebből látható, hogy a hiperbolikus síkban egy háromszög szögeinek összege kisebb kell, hogy legyen 180°-nál. Egy másik látható tulajdonság az exponenciális növekedés. A IV. körhatárban például láthatjuk, hogy a középponttól n távolságon belül lévő angyalok és démonok száma exponenciálisan növekszik. A démonok egyenlő hiperbolikus területtel rendelkeznek, tehát egy n sugarú gömb területének exponenciálisan kell nőnie n-ben.

A hiperbolikus sík (vagy annak közelítése) fizikailag többféleképpen is megvalósítható. Egy különösen ismert, pszeudoszférán alapuló papírmodell William Thurston nevéhez fűződik. A horgolás művészetét is felhasználták a hiperbolikus síkok szemléltetésére, az elsőt Daina Taimina készítette. 2000-ben Keith Henderson egy gyorsan elkészíthető papírmodellt mutatott be, amelyet "hiperbolikus focilabdának" neveztek el.