Fibonacci-számok
A Fibonacci-számok a matematikában a Fibonacci néven ismert pisai Leonardóról elnevezett számsorozat. Fibonacci 1202-ben írt egy könyvet Liber Abaci ("A számítás könyve") címmel, amely bevezette a számsort a nyugat-európai matematikába, bár az indiai matematikusok már ismerték.
A minta első száma a 0, a második szám az 1, és minden ezt követő szám egyenlő az előtte lévő két szám összeadásával. Például 0+1=1 és 3+5=8. Ez a sorozat a végtelenségig folytatódik.
Ez felírható rekurzív relációként,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}} 
Ahhoz, hogy ennek értelme legyen, legalább két kiindulópontot kell megadni. Itt F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
és F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Fibonacci-spirál, amelyet a Fibonacci-csempék négyzetein keresztül húzott vonallal hozunk létre; ez az 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 és 34 méretű négyzeteket használ; lásd: aranyspirál.
Fibonacci-számok a természetben
A Fibonacci-számok az aranymetszéssel állnak kapcsolatban, amely számos helyen megjelenik az épületekben és a természetben. Néhány példa erre a levelek mintázata egy száron, az ananász részei, az articsóka virágzása, a páfránypáfrány kibomlása és a fenyőtoboz elrendezése. A Fibonacci-számok a méhek családfájában is megtalálhatók.
Napraforgófej, amely 34 és 55 szálas spirálban mutatja a virágokat a külső oldalon.
Binet képlete
Az n-edik Fibonacci-számot az aranymetszéssel írhatjuk fel. Így elkerülhető, hogy rekurzióval számítsuk ki a Fibonacci-számokat, ami a számítógépnek sokáig tarthat.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Ahol φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} 
, az aranymetszés.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Fibonacci-sorozat?
V: A Fibonacci-sorozat a matematikában a Fibonacci néven ismert pisai Leonardóról elnevezett számséma. A sorozat 0-val és 1-gyel kezdődik, és minden ezt követő szám egyenlő a közvetlenül előtte lévő két szám összeadásával.
K: Ki vezette be ezt a számsort a nyugat-európai matematikába?
V: Fibonacci 1202-ben írt egy könyvet Liber Abaci ("A számítás könyve") címmel, amely bevezette a számmintát a nyugat-európai matematikába, bár az indiai matematikusok már ismerték.
K: Hogyan írható le a Fibonacci-sorozat?
V: A Fibonacci-sorozat felírható rekurzív összefüggésként, ahol n ≥ 2 esetén F_n = F_n-1 + F_n-2.
K: Melyek ennek a rekurziós relációnak a kiindulópontjai?
V: Ahhoz, hogy ennek értelme legyen, legalább két kezdőpontot kell megadni. Itt F_0 = 0 és F_1 = 1.
K: A Fibonacci-sorozat örökké tart?
V: Igen, a sorozat örökké tart.
K: Hol tanultak először a matematikusok erről a számmintáról? V: Az indiai matematikusok már ismerték ezt a számmintát, mielőtt Nyugat-Európában Pisai Leonardo (Fibonacci) bevezette volna.
