A Fibonacci-számok a matematikában a Fibonacci néven ismert pisai Leonardóról elnevezett számsorozat. Fibonacci 1202-ben írt egy könyvet Liber Abaci ("A számítás könyve") címmel, amely bevezette a számsort a nyugat-európai matematikába, bár az indiai matematikusok már ismerték.

A minta első száma a 0, a második szám az 1, és minden ezt követő szám egyenlő az előtte lévő két szám összeadásával. Például 0+1=1 és 3+5=8. Ez a sorozat a végtelenségig folytatódik.

Ez felírható rekurzív relációként,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}} {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

Ahhoz, hogy ennek értelme legyen, legalább két kiindulópontot kell megadni. Itt F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}{\displaystyle F_{0}=0} és F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Első néhány Fibonacci-szám és egyszerű példák

A sorozat első tagjai: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, és így tovább. Példák:

  • F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1
  • F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2
  • F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8

Zárt képlet (Binet-képlet) és arányok

Bár a definíció rekurzív, létezik zárt formája is, a Binet-képlet. Jelölje φ = (1 + √5)/2 az aranyarányt, és ψ = (1 − √5)/2 a másik gyököt. Ekkor

Fn = (φn − ψn) / √5.

Ennek egyik következménye, hogy a szomszédos Fibonacci-számok hányadosa a n növelésével az aranymetszéshez tart:

limn→∞ Fn+1 / Fn = φ ≈ 1,61803398875...

Algebrai és analitikus tulajdonságok

  • Generálófüggvény: A Fibonacci-generálófüggvény egyszerű alakja: G(x) = Σn≥0 Fn xn = x / (1 − x − x2).
  • Mátrixos forma: A Fibonacci-számok kiszámolhatók a 2×2-as mátrix hatványozásával: [[1,1],[1,0]]n = [[Fn+1, Fn],[Fn, Fn−1]]. Ez hatékonyan használható nagy n esetén (log n időköltség mátrix gyorshatványozással).
  • Negatív indexek: A sorozat kiterjeszthető negatív indexekre: F−n = (−1)n+1 Fn.
  • Összefüggések: Számos identitás van, például Cassini-formula: Fn+1Fn−1 − Fn2 = (−1)n.

Kombinatorikus értelmezések és példák

  • Számlálás: az 1×n-es csíkok lefedésének számát 1×1-es és 1×2-es téglalapokkal a Fibonacci-számok adják: az ilyen lefedések száma Fn+1.
  • Reprodukciós modell: Fibonacci eredeti problematikája a nyulak szaporodására vonatkozott, amely egyszerű szabályok mellett a Fibonacci-sorozatot adja.

Alkalmazások és előfordulások

A Fibonacci-számok és az aranyarány sok területen felbukkannak:

  • természetben: nekevezetően a növényi levelek elrendezésében (filotaxis), napraforgó magok spiráljaiban;
  • művészetben és építészetben: arányok és kompozíciók tervezésénél;
  • informatikában: rekurzív algoritmusok, dinamikus programozás gyakori példái;
  • kriptográfiában és számelméletben: maradékok vizsgálata, Pisano-periodicitás moduláris maradékokra;
  • pénzügyi elemzésekben néha technikai elemzők hivatkoznak rájuk (bár ez vitatott terület).

További érdekességek

  • A Fibonacci-sorozat minden természetes számot tartalmazhat (egyes pozitív egész számokra speciális tulajdonságok vannak a Zeckendorf-féle felbontás szerint: minden pozitív egész egyértelműen felírható olyan Fibonacci-számok összegére, amelyek nem szomszédos indexűek).
  • Moduláris mintázat: a Fibonacci-számok modul m szerinti ismétlődése Pisano-periodusnak nevezett hosszal rendelkezik.

Összefoglalva: a Fibonacci-számok egyszerű definíciójuk ellenére gazdag szerkezetet és sokrétű alkalmazást rejtenek, összekötve elemi számtani tulajdonságokat, algebrai képleteket, kombinatorikus problémákat és természetes mintázatokat.