Aranymetszés (φ) – definíció, értéke (1,618...) és tulajdonságai

Egy a szám és egy másik, kisebb b szám esetén a két szám arányát úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk őket: az arány a/b. Egy másik arányt úgy képezünk, hogy a két számot összeadjuk (a+b), és az összegét elosztjuk a nagyobbik (a) számmal; ez az arány (a+b)/a. Ha a két arány egyenlő, az arányt aranymetszésnek nevezzük. A φ görög betű \displaystyle \varphi} (phi) általában az aranymetszés arányát jelöli.

Algebrai meghatározás

Legyen az arány értéke φ, azaz

φ = (a/b) = (a+b)/a.

Ha φ = (a+b)/a és φ = a/b, akkor φ kielégíti az egyenletet

φ = (φ + 1) / φ

Ebből szorzással kapjuk a másodfokú egyenletet φ² = φ + 1, vagyis

φ² − φ − 1 = 0.

Ennek a másodfokú egyenletnek a pozitív gyöke adja az aranymetszés értékét:

φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}

Az 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} a 5 négyzetgyöke: olyan szám, amely önmagával megszorozva 5-öt ad ({\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5}).

Értéke és típus

Az aranymetszés pontos értéke tehát

• φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887498948…

Az aranymetszés irracionális szám, azaz nem írható fel két egész hányadosaként; tizedes alakja végtelen és nem periodikus: 1,6180339887…

Fontos algebrai tulajdonságok

• φ² = φ + 1.
• φ − 1 = 1/φ — gyakran így írják fel: φ = 1 + 1/φ.
• Reciprokája: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,6180339887…
• A negatív konjugált gyök: ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887…, amely a φ-hez tartozó másik gyök.
• Minimális polinomja: x² − x − 1, vagyis φ quadratic irracionális szám.

Fibonacci-sor és folytatható tört

• A Fibonacci-sorozat arányai: a F_{n+1}/F_n hányadosok a sorozat növekedésével a φ értékéhez tartanak; az arány határértéke φ.
• Kontinuitív törtként: φ = [1;1,1,1,…] — végtelen 1-esekből álló egyszerű lánctört.
• Összefüggő gyök alakok: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) és φ = √(1 + √(1 + √(1 + …))).

Geometriai megjelenések és alkalmazások

• Aranytéglalap: aránya, oldalhosszúságok aránya φ — sok művész és építész hivatkozik erre az arányra esztétikai okokból.
• Pentagon és pentagram: a szabályos ötszög belső arányai, a pentagram szárainak arányai a φ-hez kötődnek.
• Természet: levelek elrendezése (filotaxis), csigaházak spiráljai és egyes növényi mintázatok közelítenek a φ-hez kapcsolódó arányokat vagy Fibonacci-számokat.
• Művészet és dizájn: kompozíciós arányok, aranyló metszésként emlegetett elrendezések; fontos azonban megjegyezni, hogy a "szép" arány szubjektív, és nem minden esztétikai jelenség alapja kizárólag φ.

Egyéb érdekes kapcsolatok

• Trigonometria: cos 36° = φ/2, ebből következik, hogy φ = 2 cos 36°.
• Poten­ciák és záróformák: hatványai felírhatók Fibonacci-számokkal: φ^n = F_n φ + F_{n-1}, ahol F_n a Fibonacci-sorozat n-edik tagja.
• Kompozíciós tulajdonságok: φ + 1 = φ² és 1 − φ = −1/φ, ezek gyakran használhatók egyszerű alakra hozáshoz.

Összefoglalás

Az aranymetszés egy egyszerű, de gazdag matematikai konstans: algebrailag a φ² − φ − 1 = 0 másodfokú egyenlet pozitív gyöke, értéke (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887…; irracionális, lánctört- és fibonacci-kapcsolatai miatt sok területen felbukkan a matematikában, geometriában, természetben és művészetben.

Aranyarány a természetben

A természetben az aranymetszést gyakran használják a levelek vagy virágok elrendezésénél. Ezek a körülbelül 137,5 fokos aranyszöget használják. Az ebben a szögben elrendezett levelek vagy virágok a legjobban kihasználják a napfényt.

Az aranyszög használata optimálisan kihasználja a napfényt. Ez egy nézet a tetejéről.


A közönséges borostyán levele, amely az aranymetszést mutatja

Kérdések és válaszok

K: Mi két szám aránya?

K: Hogyan lehet egy másik arányt megtalálni?

K: Hogyan nevezzük azt, amikor ez a két arány egyenlő egymással?

K: Ha b = 1 és a/b = צ , mit jelent ez az a-ra nézve?

K: Hogyan lehet ezt a számot leírni?

K: Mit jelent, ha kivonunk belőle 1-et vagy elosztjuk 1-gyel?

K: Az aranymetszés irracionális szám?

Keresés betűvel