Egy r szám n-edik gyöke olyan szám, amelyet ha önmagával n-szer megszorozunk, akkor r-t kapunk. Ezt a számot gyakran nevezik gyöknek vagy radikális kifejezésnek. Másképp: létezik olyan k, amelyre az alábbi egyenlet teljesül:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} {\displaystyle k^{n}=r}

A radikális jelölése:

(A k n {\displaystyle k^{n}}{\displaystyle k^{n}} jelentése: exponenciálás.)

Ezt így írjuk le: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}. Ha n=2, akkor a radikális kifejezést négyzetgyöknek nevezzük; ha n=3, akkor kockagyök a megnevezése. Az n számát indexnek vagy gyökindexnek hívjuk, a jel előtti szám a radikandus (a gyök alatti kifejezés).

Példák és alapvető megjegyzések

Például: 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}=2}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}, mert 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}{\displaystyle 2^{3}=8}. Ebben a példában a 8-at radikálisnak, a 3-at indexnek, a gyökjelet pedig radikális szimbólumnak vagy radikális jelnek nevezzük.

Fontos megjegyzések a valós számokra vonatkozóan:

  • Ha az index páros (például 2, 4, ...), akkor a radikandusnak (a gyök alatti számnak) nemnegatívnak kell lennie ahhoz, hogy a gyök a valós számok között értelmezett legyen. Páros index esetén a gyök mindig nemnegatív (ez a főgyök): például √(9) = 3, és általánosan √[2]{x^2} = |x|.
  • Ha az index páratlan (például 3, 5, ...), akkor a radikandus lehet negatív is, és √[n]{x^n} = x minden valós x-re (páratlan n esetén a gyök értelmezése megőrzi a szám előjelét).
  • Negatív radikandus páros index esetén a gyököt a komplex számok között lehet csak értelmezni (például √{-1} = i).

Kapcsolat a hatványozással (racionális kitevők)

A gyököket gyakran írjuk hatványként racionális kitevőkkel; általános összefüggés:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}.

Például: √[3]{x^2} = x^{2/3}, illetve (√[b]{x})^a = x^{a/b}. Ezek a szabályok akkor alkalmazhatók közvetlenül a valós számokon, ha a gyök kifejezések értelmezettek (különösen figyelni kell páros index esetén a radikandus előjelére).

Alapvető műveleti tulajdonságok

A radikális kifejezésekre vonatkozó legegyszerűbb szabályok (amik feltételezik, hogy a gyökök értelmezettek, azaz páros index esetén a radikandusok nemnegatívak):

  • Szorzat: a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}. (Általánosabban: √[n]{ab} = √[n]{a}·√[n]{b}, ha a és b megfelelően nemnegatívak.)
  • Hányados: A radikális kifejezés hányados tulajdonsága a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}.
  • Összetett gyökök: √[m]{√[n]{x}} = √[mn]{x}. Ekkor a jelek összetételével az indexek szorzódnak: (x^{1/n})^{1/m} = x^{1/(mn)}.
  • Kitevő emelés: (√[n]{x})^m = √[n]{x^m} = x^{m/n}.
  • Absolute érték figyelembevétele: általában √[n]{x^n} = |x|, ha n páros (a főgyök nem ad negatív eredményt), míg n páratlan esetén √[n]{x^n} = x.

Példák egyszerűsítésre és racionálásra

  • Egyszerű példa: √{50} = √(25·2) = 5√2.
  • Példa negatív szám páratlan indexnél: √[3]{-27} = -3, mert (-3)^3 = -27.
  • Racionálás (a nevezőből eltüntetjük a gyököt): 1/√2 = (√2)/(√2·√2) = √2/2.
  • Összetett hatvány: (√[3]{x})^6 = x^{6/3} = x^2.

Figyelmeztetések és gyakori hibák

  • Ne írjuk egyszerűen √[n]{a+b} = √[n]{a} + √[n]{b}; ez általában hamis. Csak bizonyos speciális esetekben (például ha egy tag nulla) igaz.
  • Páros index esetén mindig ellenőrizzük a radikandus előjelét, és szükség esetén alkalmazzuk az abszolútértéket a visszaalakításkor: ha x valós és n páros, akkor (√[n]{x^n}) = |x|.
  • A fenti összefüggések többnyire a valós számokra vonatkoznak; a komplex számok között a többértékűséget (az n-edik gyökök több lehetséges értéke) is figyelembe kell venni.

Összefoglalva: a gyökök és radikális kifejezések a hatványozás inverz műveletei, racionális kitevőkkel egyszerűen kezelhetők (x^{a/b}), és számos algebrai szabály vonatkozik rájuk — mindig ügyeljünk azonban az index párosságára és a radikandus előjelére, hogy elkerüljük a hibás átalakításokat.