N-edik gyök és radikális kifejezések — definíció és tulajdonságok

N-edik gyök és radikális kifejezések: világos definíciók, tulajdonságok, szabályok és gyakorlati példák a gyökök, indexek, szorzat- és törtátalakítás megértéséhez.

Szerző: Leandro Alegsa

22-03-2026 14:35

Egy r szám n-edik gyöke olyan szám, amelyet ha önmagával n-szer megszorozunk, akkor r-t kapunk. Ezt a számot gyakran nevezik gyöknek vagy radikális kifejezésnek. Másképp: létezik olyan k, amelyre az alábbi egyenlet teljesül:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

A radikális jelölése:

(A k n {\displaystyle k^{n}} $k^{n}$ jelentése: exponenciálás.)

Ezt így írjuk le: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Ha n=2, akkor a radikális kifejezést négyzetgyöknek nevezzük; ha n=3, akkor kockagyök a megnevezése. Az n számát indexnek vagy gyökindexnek hívjuk, a jel előtti szám a radikandus (a gyök alatti kifejezés).

Példák és alapvető megjegyzések

Például: 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ , mert 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} $2^{3}=8$ . Ebben a példában a 8-at radikálisnak, a 3-at indexnek, a gyökjelet pedig radikális szimbólumnak vagy radikális jelnek nevezzük.

Fontos megjegyzések a valós számokra vonatkozóan:

Ha az index páros (például 2, 4, ...), akkor a radikandusnak (a gyök alatti számnak) nemnegatívnak kell lennie ahhoz, hogy a gyök a valós számok között értelmezett legyen. Páros index esetén a gyök mindig nemnegatív (ez a főgyök): például √(9) = 3, és általánosan √[2]{x^2} = |x|.
Ha az index páratlan (például 3, 5, ...), akkor a radikandus lehet negatív is, és √[n]{x^n} = x minden valós x-re (páratlan n esetén a gyök értelmezése megőrzi a szám előjelét).
Negatív radikandus páros index esetén a gyököt a komplex számok között lehet csak értelmezni (például √{-1} = i).

Kapcsolat a hatványozással (racionális kitevők)

A gyököket gyakran írjuk hatványként racionális kitevőkkel; általános összefüggés:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Például: √[3]{x^2} = x^{2/3}, illetve (√[b]{x})^a = x^{a/b}. Ezek a szabályok akkor alkalmazhatók közvetlenül a valós számokon, ha a gyök kifejezések értelmezettek (különösen figyelni kell páros index esetén a radikandus előjelére).

Alapvető műveleti tulajdonságok

A radikális kifejezésekre vonatkozó legegyszerűbb szabályok (amik feltételezik, hogy a gyökök értelmezettek, azaz páros index esetén a radikandusok nemnegatívak):

Szorzat: a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ . (Általánosabban: √[n]{ab} = √[n]{a}·√[n]{b}, ha a és b megfelelően nemnegatívak.)
Hányados: A radikális kifejezés hányados tulajdonsága a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .
Összetett gyökök: √[m]{√[n]{x}} = √[mn]{x}. Ekkor a jelek összetételével az indexek szorzódnak: (x^{1/n})^{1/m} = x^{1/(mn)}.
Kitevő emelés: (√[n]{x})^m = √[n]{x^m} = x^{m/n}.
Absolute érték figyelembevétele: általában √[n]{x^n} = |x|, ha n páros (a főgyök nem ad negatív eredményt), míg n páratlan esetén √[n]{x^n} = x.

Példák egyszerűsítésre és racionálásra

Egyszerű példa: √{50} = √(25·2) = 5√2.
Példa negatív szám páratlan indexnél: √[3]{-27} = -3, mert (-3)^3 = -27.
Racionálás (a nevezőből eltüntetjük a gyököt): 1/√2 = (√2)/(√2·√2) = √2/2.
Összetett hatvány: (√[3]{x})^6 = x^{6/3} = x^2.

Figyelmeztetések és gyakori hibák

Ne írjuk egyszerűen √[n]{a+b} = √[n]{a} + √[n]{b}; ez általában hamis. Csak bizonyos speciális esetekben (például ha egy tag nulla) igaz.
Páros index esetén mindig ellenőrizzük a radikandus előjelét, és szükség esetén alkalmazzuk az abszolútértéket a visszaalakításkor: ha x valós és n páros, akkor (√[n]{x^n}) = |x|.
A fenti összefüggések többnyire a valós számokra vonatkoznak; a komplex számok között a többértékűséget (az n-edik gyökök több lehetséges értéke) is figyelembe kell venni.

Összefoglalva: a gyökök és radikális kifejezések a hatványozás inverz műveletei, racionális kitevőkkel egyszerűen kezelhetők (x^{a/b}), és számos algebrai szabály vonatkozik rájuk — mindig ügyeljünk azonban az index párosságára és a radikandus előjelére, hogy elkerüljük a hibás átalakításokat.

Ez y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Ez egy kockagyökér.

Ez az y = x grafikonja {\displaystyle y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . Ez egy négyzetgyök.

Egyszerűsítés

Ez egy példa arra, hogyan lehet egy gyököt egyszerűsíteni.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Ha két gyök azonos, akkor kombinálhatók. Ilyenkor mind az indexek, mind a gyökök azonosak.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Így találjuk meg a tökéletes négyzetet és racionalizáljuk a nevezőt.

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x {\displaystyle {\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\\cancel {x}}}{{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}{x}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Kapcsolódó oldalak

Racionalizálás (matematika)

Kérdések és válaszok

K: Mi az az n-edik gyök?

V: Egy r szám n-edik gyöke olyan szám, amelyet ha önmagával n-szer megszorozunk, akkor az r számot kapjuk.

K: Hogyan írják le az n-edik gyököt?

V: Az r szám n-edik gyökét r^(1/n)-nek írjuk.

K: Milyen példák vannak a gyökökre?

V: Ha az index (n) 2, akkor a gyökkifejezés négyzetgyök. Ha az index 3, akkor kockagyök. Az n más értékeire rendszámokkal utalunk, például negyedik gyök és tizedik gyök.

K: Mit mond a gyökkifejezés szorzat-tulajdonsága?

V: A gyökkifejezés terméktulajdonsága azt mondja ki, hogy sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

K: Mit állít egy gyökkifejezés hányados-tulajdonsága?

V: A gyökkifejezés hányados tulajdonsága azt állítja, hogy sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), ahol b != 0.

K: Milyen más kifejezésekkel lehet még egy n-edik gyökre utalni?

V: Az n-edik gyökre radikális vagy radikális kifejezésként is lehet hivatkozni.

Keres