Gyökvonás

Egy r szám n-edik gyöke olyan szám, amelyet ha önmagával n-szer megszorozunk, akkor r-t kapunk. Gyöknek vagy radikális kifejezésnek is nevezik. Úgy is mondhatjuk, hogy ez egy olyan k szám, amelyre ez az egyenlet igaz:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

(A k n {\displaystyle k^{n}} $k^{n}$ jelentése a következő: exponenciálás.)

Ezt így írjuk le: r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Ha n 2, akkor a radikális kifejezés négyzetgyök. Ha 3, akkor kockagyök.

Például 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ , mert 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} $2^{3}=8$ . Ebben a példában a 8-at radikálisnak, a 3-at indexnek, a kocka alakú részt pedig radikális szimbólumnak vagy radikális jelnek nevezzük.

A gyökök és a hatványok a következőképpen változtathatók: x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

A radikális kifejezések szorzat tulajdonsága a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .

A radikális kifejezés hányados tulajdonsága a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

Ez y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Ez egy kockagyökér.

Ez az y = x grafikonja {\displaystyle y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . Ez egy négyzetgyök.

Egyszerűsítés

Ez egy példa arra, hogyan lehet egy gyököt egyszerűsíteni.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Ha két gyök azonos, akkor kombinálhatók. Ilyenkor mind az indexek, mind a gyökök azonosak.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Így találjuk meg a tökéletes négyzetet és racionalizáljuk a nevezőt.

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x × x x = 8 x x 2 = 8 x x {\displaystyle {\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\\cancel {x}}}{{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}{x}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Kapcsolódó oldalak

Racionalizálás (matematika)

Kérdések és válaszok

K: Mi az az n-edik gyök?

V: Egy r szám n-edik gyöke olyan szám, amelyet ha önmagával n-szer megszorozunk, akkor az r számot kapjuk.

K: Hogyan írják le az n-edik gyököt?

V: Az r szám n-edik gyökét r^(1/n)-nek írjuk.

K: Milyen példák vannak a gyökökre?

V: Ha az index (n) 2, akkor a gyökkifejezés négyzetgyök. Ha az index 3, akkor kockagyök. Az n más értékeire rendszámokkal utalunk, például negyedik gyök és tizedik gyök.

K: Mit mond a gyökkifejezés szorzat-tulajdonsága?

V: A gyökkifejezés terméktulajdonsága azt mondja ki, hogy sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

K: Mit állít egy gyökkifejezés hányados-tulajdonsága?

V: A gyökkifejezés hányados tulajdonsága azt állítja, hogy sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), ahol b != 0.

K: Milyen más kifejezésekkel lehet még egy n-edik gyökre utalni?

V: Az n-edik gyökre radikális vagy radikális kifejezésként is lehet hivatkozni.