Algebrai egyenlet
A matematikában egy algebrai egyenlet, más néven polinomegyenlet egy adott mező felett a következő alakú egyenlet
P = Q {\displaystyle P=Q} 
ahol P és Q az adott mező feletti polinomok, és egy (egyváltozós) vagy több (többváltozós) változóval rendelkeznek. Például:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}}={\frac {x^{3}}{3}}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}}} 
egy algebrai egyenlet a racionális számok felett.
Két egyenletet ekvivalensnek nevezünk, ha ugyanazzal a megoldáskészlettel rendelkeznek. Ez azt jelenti, hogy a második egyenlet minden megoldásának az első egyenlet megoldásának is meg kell lennie, és fordítva. A P = Q {\displaystyle P=Q=Q} egyenlet ekvivalens a P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
egyenlettel. Az algebrai egyenletek tanulmányozása tehát egyenértékű a polinomok tanulmányozásával.
Ha egy algebrai egyenlet a racionalitások felett áll, mindig át lehet alakítani egy egyenértékű egyenletre, ahol az összes együttható egész szám. Például a fent megadott egyenletben megszorozzuk a 42 = 2-3-7-tel, és a tagokat az első tagban csoportosítjuk. Az egyenletet átalakítjuk
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
Egy egyenlet megoldásai a változók azon értékei, amelyekre az egyenlet igaz. De az algebrai egyenletek esetében vannak úgynevezett gyökerek is. Egy egyenlet megoldásakor meg kell mondanunk, hogy a megoldások melyik halmazban lehetnek. Például egy racionálisok feletti egyenlet esetén a megoldásokat az egész számokban találhatjuk meg. Ekkor az egyenlet diofantikus egyenlet. Megoldásokat kereshetünk a komplex számok mezőjében is. Megoldásokat kereshetünk a valós számokban is.
Az ókori matematikusok az egyváltozós egyenletek (azaz az egyváltozós egyenletek) megoldását radikális kifejezések formájában akarták, mint például x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}
az x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
pozitív megoldására. Már az ókori egyiptomiak is tudták, hogyan kell ilyen módon megoldani a 2. fokú egyenleteket (vagyis azokat az egyenleteket, amelyekben a változó legnagyobb hatványa 2). A reneszánsz idején Gerolamo Cardano megoldotta a 3. fokú egyenletet, Lodovico Ferrari pedig a 4. fokú egyenletet. Végül Niels Henrik Abel 1824-ben bebizonyította, hogy az 5. fokú egyenlet és a magasabb fokú egyenletek nem mindig oldhatók meg gyökök segítségével. Az Évariste Galois-ról elnevezett Galois-elméletet azért vezették be, hogy kritériumokat adjanak meg annak eldöntésére, hogy egy egyenlet megoldható-e gyökökkel.
Kérdések és válaszok
K: Mi az az algebrai egyenlet?
V: Az algebrai egyenlet a P = Q alakú egyenlet, ahol P és Q egy adott mező feletti polinomok egy vagy több változóval.
K: Hogyan lehet két egyenlet ekvivalens?
V: Két egyenlet akkor tekinthető ekvivalensnek, ha ugyanazzal a megoldási halmazzal rendelkeznek, azaz az egyiknek minden megoldása a másiknak is megoldása kell, hogy legyen, és fordítva.
K: Mit jelent egy egyenlet megoldása?
V: Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megkeressük a változóknak azokat az értékeit, amelyek az egyenletet igazzá teszik. Ezeket az értékeket gyöknek nevezzük.
K: A racionális számok feletti algebrai egyenletek mindig átalakíthatók egész együtthatókkal rendelkező egyenletekké?
V: Igen, ha mindkét oldalt megszorozzuk egy számmal, például 42 = 2-3-7, és az első tagban lévő tagokat csoportosítjuk, akkor bármely racionális számok feletti algebrai egyenlet átalakítható egész együtthatókkal rendelkező egyenletté.
K: Mikor akartak az ókori matematikusok radikális kifejezéseket az egyváltozós egyenletekhez?
V: Az ókori matematikusok a reneszánsz korszakban akartak radikális kifejezéseket (például x=1+√5/2) az egyváltozós egyenletekre (egyváltozós egyenletek).
K: Ki oldott meg 3. és 4. fokú egyenleteket ebben az időszakban?
V: Gerolamo Cardano 3. fokú egyenleteket, Lodovico Ferrari pedig 4. fokú egyenleteket oldott meg ebben az időben.
K: Ki bizonyította be, hogy a magasabb fokú egyenletek nem mindig oldhatók meg gyökökkel?
V: Niels Henrik Abel 1824-ben bebizonyította, hogy a magasabb fokú egyenletek nem mindig oldhatók meg gyökökkel.
