Henger

Általános használat

A közhasználatban a henger alatt a derékszögű körhenger véges metszetét értjük, azaz azt a hengert, amelynek generáló vonalai merőlegesek az alapokra, és amelynek végei két kör alakú felületet alkotnak, mint a (jobb oldali) ábrán. Ha a henger sugara r és hossza (magassága) h, akkor térfogata a következő:

V = πrh²

és a felülete:

• a felső rész területe (πr²) +
• az alsó rész területe (πr²) +
• az oldal területe (2πrh).

Ezért a felső vagy alsó rész (oldalirányú terület) nélkül a felület:

A = 2πrh.

A felső és az alsó részen a felület:

A = 2πr ²+ 2πrh = 2πr(r + h).

Adott térfogat esetén a legkisebb felületű henger h = 2r. Adott felület esetén a legnagyobb térfogatú henger h = 2r, azaz a henger befér egy kockába (magasság = átmérő).

Volume

Egy h egységnyi magasságú, derékszögű körhenger és egy r egységnyi sugarú alap, amelynek koordinátatengelyei úgy vannak megválasztva, hogy az origó az egyik alap középpontjában van, a magasságot pedig a pozitív x-tengely mentén mérjük. Az origótól x egységnyi távolságra lévő síkmetszet területe A(x) négyzetegység, ahol

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

vagy

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Egy térfogatelem egy Aw_i négyzetméter alapterületű és Δx_i egység vastagságú derékszögű henger. Így ha V köbméter egység a jobb oldali körhenger térfogata, a Riemann-összegek szerint,

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | | Δ → |0 | ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{|\\Delta \to 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ h 0A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ h0 π r d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Hengeres koordináták használatával a térfogat kiszámítható integrálással a következő területre

= ∫ h0 ∫ π02 ∫ r0 s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Hengeres szelvény

A hengeres metszetek a hengerek és a síkok metszéspontjai. Egy derékszögű körhenger esetében négy lehetőség van. A hengert érintő sík egyetlen egyenes vonalban találkozik a hengerrel. Önmagával párhuzamosan mozgatva a sík vagy nem metszi a hengert, vagy két párhuzamos egyenesben metszi azt. Minden más sík ellipszisben, vagy ha merőleges a henger tengelyére, akkor körben metszi a hengert.

Más típusú hengerek

Az elliptikus henger, vagy cylindroid egy kvadrikus felület, amelynek a következő egyenlete van kartéziánus koordinátákban:

( x a ) +2 ( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1.}

Ez az egyenlet egy elliptikus hengerre vonatkozik, amely a közönséges körhenger (a = b) általánosítása. Még általánosabb az általánosított henger: a keresztmetszet bármilyen görbe lehet.

A henger egy degenerált kvadrikus, mivel legalább az egyik koordináta (ebben az esetben z) nem szerepel az egyenletben.

A ferde henger felső és alsó felülete eltolódik egymástól.

Vannak más, szokatlanabb típusú hengerek is. Ezek a képzeletbeli elliptikus hengerek:

( x a ) +2 ( y b ) = 2- 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=-1}}

a hiperbolikus henger:

( x a ) 2- ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}}\right)^{2}=1}

és a parabolikus henger:

x +2 a2 y =0 . {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Egy elliptikus henger


A projekciós geometriában a henger egyszerűen egy kúp, amelynek csúcsa a végtelenben van, ami vizuálisan megfelel annak, amikor egy henger perspektivikusan kúpnak tűnik az ég felé.

Projektív geometria

A projektív geometriában a henger egyszerűen egy olyan kúp, amelynek csúcsa a végtelenben van.

Ez hasznos a degenerált kúpok meghatározásánál, amelyhez a hengeres kúpokat kell figyelembe venni.