Wavelet

A wavelet egy matematikai függvény, amelyet egy függvény vagy jel más, egyszerűbben tanulmányozható függvények formájában történő leírására használnak. Számos jelfeldolgozási feladat tekinthető wavelet-transzformáció szempontjából. Nem hivatalosan szólva a jelet a wavelet skálája által megadott nagyítással lehet lencse alatt látni. Ezáltal csak azt az információt láthatjuk, amelyet az alkalmazott wavelet alakja határoz meg.

Az angol "wavelet" kifejezést Jean Morlet és Alex Grossman francia fizikusok vezették be az 1980-as évek elején. Ők a francia "ondelette" szót használták (ami "kis hullámot" jelent). Később ezt a szót az "onde" "hullám"-ra való fordításával átvitték az angol nyelvbe, így kapták a "wavelet"-et.

A wavelet egy (komplex) függvény a ψ ∈ L 2 ( R ) Hilbert-térből {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}{\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} . A gyakorlati alkalmazásokhoz a következő feltételeknek kell megfelelnie.

Véges energiával kell rendelkeznie.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Meg kell felelnie egy elfogadhatósági feltételnek.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty } {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }, ahol ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}{\displaystyle {\hat {\psi }}} a ψ {\displaystyle \psi \,} Fourier-transzformáltja. {\displaystyle \psi \,}

A nulla átlag feltétel az elfogadhatósági feltételből következik.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

A ψ {\displaystyle \psi \,}{\displaystyle \psi \,} függvényt nevezzük anya waveletnek. A lefordított (eltolt) és a tágított (skálázott) normalizált változatát a következőképpen határozzuk meg.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Az eredeti anya wavelet paraméterei a = 1 {\displaystyle a=1}{\displaystyle a=1} és b = 0 {\displaystyle b=0}{\displaystyle b=0} . A transzlációt a b {\displaystyle b}{\displaystyle b} paraméter, a dilatációt pedig az a {\displaystyle a}a paraméter írja le.

Morlet waveletZoom
Morlet wavelet

Kérdések és válaszok

K: Mi az a wavelet?


V: A wavelet egy matematikai függvény, amelyet egy függvény vagy jel más, egyszerűbben tanulmányozható függvények formájában történő leírására használnak. A wavelet méretaránya által adott nagyítással lehet lencsevégre kapni, így csak az alakja által meghatározott információt láthatjuk.

K: Ki vezette be a "wavelet" kifejezést?


V: Az angol "wavelet" kifejezést az 1980-as évek elején Jean Morlet és Alex Grossman francia fizikusok vezették be, akik a francia "ondelette" szót használták (ami "kis hullámot" jelent). Később ezt a szót az "onde" "hullám"-ra való fordításával vitték át az angol nyelvbe, így kaptuk meg a "wavelet"-et.

K: Minek kell megfelelnie egy waveletnek a gyakorlati alkalmazásokhoz?


V: A gyakorlati alkalmazásokhoz egy waveletnek véges energiával kell rendelkeznie, és meg kell felelnie egy elfogadhatósági feltételnek. Ez az elfogadhatósági feltétel azt mondja ki, hogy a hullámnak nulla átlaggal kell rendelkeznie, és a frekvencia feletti integrálnak is meg kell felelnie, amely kisebb, mint a végtelen.

K: Mit értünk transzláció és dilatáció alatt, amikor a waveletekre utalunk?


V: A transzláció az anyavellet eltolását vagy mozgatását jelenti az időtengely mentén, míg a dilatáció az anyavellet skálázását vagy nyújtását/zsugorítását jelenti az időtengely mentén. Ezt a két paramétert (transzláció és dilatáció) b-vel és a-val írjuk le.

K: Mit jelent az, hogy egy hullámeletnek nulla az átlaga?


V: A zérus középérték azt jelenti, hogy ha a negatív végtelentől a pozitív végtelenig minden t értékre integráljuk, akkor az összegnek 0-val kell egyenlőnek lennie, azaz ∫-∞∞∞ψ(t)dt=0 . Ez a követelmény magából a fent említett elfogadhatósági feltételből következik.

K: Hogyan definiálják az anyahullámokat?


V: Az anya hullámhálókat az eredeti anya hullámhálók lefordított (eltolt) és kitágított (skálázott) változatának normalizált változataként határozzuk meg, amelynek paraméterei "a" = 1 és "b" = 0 .

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3