A wavelet egy matematikai függvény, amelyet egy függvény vagy jel más, egyszerűbben tanulmányozható függvények formájában történő leírására használnak. Számos jelfeldolgozási feladat tekinthető wavelet-transzformáció szempontjából. Nem hivatalosan szólva a jelet a wavelet skálája által megadott nagyítással lehet lencse alatt látni: más-más skálán és eltoláson vizsgálva a jelet, más-más részletek válnak láthatóvá. Ezáltal csak azt az információt látjuk, amelyet az alkalmazott wavelet alakja határoz meg.
Az angol "wavelet" kifejezést Jean Morlet és Alex Grossman francia fizikusok vezették be az 1980-as évek elején. Ők a francia "ondelette" szót használták (ami "kis hullámot" jelent). Később ezt a szót az "onde" ("hullám") angol megfelelőjére fordítva terjedt el a nemzetközi szakirodalomban, így alakult ki a "wavelet" elnevezés.
A wavelet egy (komplex) függvény a ψ ∈ L 2 ( R ) Hilbert-térből {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}
. A gyakorlati alkalmazásokhoz a következő feltételeknek kell megfelelnie.
Alapfeltételek
- Véges energia: a wavelet négyzete integrálható, azaz véges energiával rendelkezik:
∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }
- Elfogadhatósági feltétel: biztosítja, hogy a wavelet-transzformáció invertálható legyen. Gyakori alakja:
∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }d\omega <\infty }
, ahol ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}
a ψ {\displaystyle \psi \,} Fourier-transzformáltja. 
- Nulla átlag: az elfogadhatósági feltételből következik, vagy külön követelményként fogalmazzák meg:
∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}
A ψ {\displaystyle \psi \,} függvényt nevezzük anya waveletnek (mother wavelet). A lefordított (eltolt) és a tágított (skálázott) normalizált változatát a következőképpen határozzuk meg:
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)} 
Az eredeti anya wavelet paraméterei a = 1 {\displaystyle a=1}
és b = 0 {\displaystyle b=0}
. A transzlációt a b {\displaystyle b}
paraméter, a dilatációt pedig az a {\displaystyle a}
paraméter írja le.
Matematikai képletek és inverzió
- Folytonos wavelet-transzformáció (CWT):
Legyen f(t) egy jel. A CWT definíciója: Wf(a,b) = ∫ f(t) (1/√|a|) ψ* ((t−b)/a) dt, ahol ψ* a komplex konjugált. A transzformátum skála (a) és hely (b) függvénye.
- Inverzió:
Ha ψ elfogadható, akkor f visszanyerhető a transzformátumból az alábbi (formális) képlettel: f(t) = (1/C_ψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{-∞}^{∞} Wf(a,b) (1/√|a|) ψ_{a,b}(t) db (da / a^2), ahol az ún. elfogadhatósági konstans C_ψ = ∫_{0}^{∞} |ψ̂(ω)|^2 / ω dω véges.
További fontos tulajdonságok
- Vanishing moments (nullhelyek): Ha a waveletnek N darab nullhelye van (azaz ∫ t^k ψ(t) dt = 0, k = 0,...,N−1), akkor a wavelet érzéketlen az alacsony fokú polinom komponensekre — ez hasznos zajszűrésnél és jeltrendek elválasztásánál.
- Ortonormalitás és bázisok: Bizonyos diszkrét skála- és eltolásválasztásokkal (például dyadikus: a = 2^j, b = k2^j) az ψ_{a,b} család ortonormális bázist képezhet az L^2(R)-en. Ez alapja a diszkrét wavelet-transzformációnak (DWT) és a gyors számítási algoritmusoknak.
- Kompatibilitás szűrőkkel (filter bank): A diszkrét waveletek implementálhatók tömörítő és részletképző alul- és felüláteresztő szűrők segítségével (Mallat-algoritmus), ami hatékony, O(N) komplexitású feldolgozást tesz lehetővé.
- Végleges támogatás (compact support) és simaság: Néhány wavelet (pl. Daubechies család) kompakt tartású, azaz csak véges intervallumon nem nulla, ami lokális vizsgálatokat segíti. A simaság (deriválhatóság) fontos a numerikus tulajdonságok és a jel helyes reprezentálása szempontjából.
Gyakori wavelet-típusok
- Haar: A legegyszerűbb wavelet, lépcsős alakú, könnyen értelmezhető, de nem folytonos.
- Daubechies (dbN): Kompakt tartású ortonormális waveletek, különböző simasági fokokkal (N a nullhelyek száma).
- Morlet: Komplex, Gauss-szerű ablakolt szinusz, jó frekvencia-idő lokalizációval; népszerű analízisekhez.
- Mexican hat (Ricker): A Gauss-függvény második deriváltja, jó impulzus- és élérzékelésre.
- Meyer: Sima, frekvenciatartományban feltárt wavelet, amely jól illeszkedik matematikai elméletekhez.
Alkalmazások
- Zajcsökkentés és denoising: A wavelet-transzformációban a jel részletei és közelítései külön kezelhetők, ami hatékony zajszűrést tesz lehetővé.
- Tömörítés: Képtömörítésben (például JPEG2000) és egyéb adattömörítési feladatokban waveleteket használnak, mert jól koncentrálják a jelenergiát néhány koefficiensbe.
- Jelfeldolgozás: Hang-, kép- és időjel-elemzés; tranziensek, élek és szingularitások detektálása.
- Orvosi jel- és képalkalmazások: ECG/EEG analízis, orvosi képfeldolgozás.
- Geofizika, pénzügyi idősorok: Multiskálás vizsgálat, skálafüggő jelenségek elemzése.
Gyakorlati megjegyzések
- Az alkalmazáshoz megfelelő anya wavelet és skálabeosztás kiválasztása kulcsfontosságú: például tranzienseknél rövidebb, kompakt waveletek jobbak; frekvenciaanalízisnél simább, komplex waveletek előnyösek.
- A folyamatos CWT jó vizuális elemzést ad (skála-eltolás idő-frekvencia kép), de számításigényes; diszkrét DWT és az azt megvalósító gyors hullámszűrő-algoritmusok (Mallat) hatékonyak nagy adathalmazokhoz.
- Numerikus implementációknál fontos a jel határkezelése és a mintavételezési feltételek figyelembevétele.
Összefoglalva: a wavelet-ek rugalmasságot adnak a jelek idő-frekvencia szerinti többskálás vizsgálatához, és ezért széles körben alkalmazzák mind az elméleti kutatásban, mind ipari, mérnöki feladatokban.
