Wavelet transzformáció
A wavelet-transzformáció egy jel időfrekvenciás ábrázolása. Használjuk például zajcsökkentésre, jellemzőkinyerésre vagy jeltömörítésre.
A folytonos jel hullámtranszformációja a következőképpen definiált
[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,} ,
ahol
- ψ {\displaystyle \psi }
az úgynevezett anya wavelet,
- a {\displaystyle a} a wavelet-tágítást jelöli,
- b {\displaystyle b}
a wavelet időeltolódását jelöli, és
- A ∗ {\displaystyle *}
szimbólum a komplex konjugáltat jelöli.
A = a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}}^{m}}} és b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} esetén
, ahol a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1}
, T > 0 {\displaystyle T>0} és m
{\displaystyle m} és k
{\displaystyle k}
egész számú konstansok, a wavelet transzformációt diszkrét wavelet transzformációnak (folytonos jel) nevezzük.
Ha a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} és b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}}
ahol m > 0 {\displaystyle m>0}
, a diszkrét wavelet transzformációt dyadikusnak nevezzük. Definíciója a következő
[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,
ahol
- m {\displaystyle m}
a frekvenciaskála,
- k {\displaystyle k}
az időskála és
- T {\displaystyle T}
konstans, amely az anya wavelet-től függ.
A dyadikus diszkrét wavelet transzformáció átírható a következőképpen
[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,
ahol h m {\displaystyle h_{m}} a folytonos szűrő impulzusjellemzője, amely adott m {\displaystyle m}
esetén megegyezik ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}
.
Analóg módon, a diszkrét időben (diszkrét jel) dyadikus wavelet transzformáció a következőképpen definiálható
![A frekvenciabontó jel folyamatos wavelet-transzformációja. 5 eltűnő pillanattal rendelkező symletet használtunk.](https://alegsaonline.com/image/320px-Continuous_wavelet_transform.svg.png)
![Zoom](https://www.alegsaonline.com/zoom.png)
A frekvenciabontó jel folyamatos wavelet-transzformációja. 5 eltűnő pillanattal rendelkező symletet használtunk.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a wavelet transzformáció?
V: A wavelet-transzformáció egy jel időfrekvenciás reprezentációja, amelyet zajcsökkentésre, jellemzőkivonásra vagy jeltömörítésre használnak.
K: Hogyan definiálják a folytonos jelek wavelet-transzformációját?
V: A folytonos jelek wavelet-transzformációját úgy definiáljuk, hogy egy függvény összes értéke fölötti integrál, amelyet megszorozunk egy anya wavelet-tel, ahol az "a" és "b" paraméterek a tágítást, illetve az időbeli eltolódást jelölik.
K: Mik a dyadikus diszkrét wavelet-transzformációk?
V: A djadikus diszkrét wavelet-transzformációk a hagyományos diszkrét wavelet-transzformációk diszkrét változatai, amelyek frekvenciaskálája "m", időskálája "k" és állandója "T". Átírhatók úgy, hogy egy függvény összes értéke fölötti integrál, amelyet megszorozunk egy impulzus jellegzetes szűrővel, amely adott m esetén azonos az anya wavelet-transzformációval.
K: Mit jelent ebben az összefüggésben az "anya wavelet" kifejezés?
V: Ebben az összefüggésben az "anya waveletek" olyan függvényekre utalnak, amelyeket más függvényekkel együtt használnak egy adott típusú transzformáció (ebben az esetben a wavelet-transzformáció) kiszámításának alapjául.
K: Hogyan lehet kiszámítani a dyadikus diszkrét waveleteket?
V: A dikadikus diszkrét waveletek kiszámítása a függvény összes értéke feletti integrál segítségével történik, amelyet megszorozunk egy impulzusjellemző szűrővel, amely adott m esetén megegyezik az anya wavelet-tel. Ezenkívül paraméterként m frekvenciaskálára, k időskálára és T konstansra van szükségük.
K: Mit jelent az "a" és a "b" a folytonos waveletek meghatározásakor?
V: A folytonos waveletek meghatározásakor az "a" a tágulást, míg a "b" az időeltolódást jelenti.