Wavelet transzformáció

A wavelet-transzformáció egy jel időfrekvenciás ábrázolása. Használjuk például zajcsökkentésre, jellemzőkinyerésre vagy jeltömörítésre.

A folytonos jel hullámtranszformációja a következőképpen definiált

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

ahol

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ az úgynevezett anya wavelet,
a {\displaystyle a} a wavelet-tágítást jelöli,
b {\displaystyle b} $b$ a wavelet időeltolódását jelöli, és
A ∗ {\displaystyle *} $*$ szimbólum a komplex konjugáltat jelöli.

A = a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}}^{m}}} $a={a_{0}}^{m}$ és b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} esetén $b={a_{0}}^{m}kT$ , ahol a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} és m $T>0$ {\displaystyle m} és k {\displaystyle k} egész számú konstansok, a wavelet transzformációt diszkrét wavelet transzformációnak (folytonos jel) nevezzük.

Ha a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ és b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}} $b=2^{m}kT$ ahol m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , a diszkrét wavelet transzformációt dyadikusnak nevezzük. Definíciója a következő

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

ahol

m {\displaystyle m} a frekvenciaskála,
k {\displaystyle k} az időskála és
T {\displaystyle T} $T$ konstans, amely az anya wavelet-től függ.

A dyadikus diszkrét wavelet transzformáció átírható a következőképpen

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

ahol h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ a folytonos szűrő impulzusjellemzője, amely adott m {\displaystyle m} esetén megegyezik ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ .

Analóg módon, a diszkrét időben (diszkrét jel) dyadikus wavelet transzformáció a következőképpen definiálható

A frekvenciabontó jel folyamatos wavelet-transzformációja. 5 eltűnő pillanattal rendelkező symletet használtunk.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a wavelet transzformáció?

V: A wavelet-transzformáció egy jel időfrekvenciás reprezentációja, amelyet zajcsökkentésre, jellemzőkivonásra vagy jeltömörítésre használnak.

K: Hogyan definiálják a folytonos jelek wavelet-transzformációját?

V: A folytonos jelek wavelet-transzformációját úgy definiáljuk, hogy egy függvény összes értéke fölötti integrál, amelyet megszorozunk egy anya wavelet-tel, ahol az "a" és "b" paraméterek a tágítást, illetve az időbeli eltolódást jelölik.

K: Mik a dyadikus diszkrét wavelet-transzformációk?

V: A djadikus diszkrét wavelet-transzformációk a hagyományos diszkrét wavelet-transzformációk diszkrét változatai, amelyek frekvenciaskálája "m", időskálája "k" és állandója "T". Átírhatók úgy, hogy egy függvény összes értéke fölötti integrál, amelyet megszorozunk egy impulzus jellegzetes szűrővel, amely adott m esetén azonos az anya wavelet-transzformációval.

K: Mit jelent ebben az összefüggésben az "anya wavelet" kifejezés?

V: Ebben az összefüggésben az "anya waveletek" olyan függvényekre utalnak, amelyeket más függvényekkel együtt használnak egy adott típusú transzformáció (ebben az esetben a wavelet-transzformáció) kiszámításának alapjául.

K: Hogyan lehet kiszámítani a dyadikus diszkrét waveleteket?

V: A dikadikus diszkrét waveletek kiszámítása a függvény összes értéke feletti integrál segítségével történik, amelyet megszorozunk egy impulzusjellemző szűrővel, amely adott m esetén megegyezik az anya wavelet-tel. Ezenkívül paraméterként m frekvenciaskálára, k időskálára és T konstansra van szükségük.

K: Mit jelent az "a" és a "b" a folytonos waveletek meghatározásakor?

V: A folytonos waveletek meghatározásakor az "a" a tágulást, míg a "b" az időeltolódást jelenti.