A wavelet-transzformáció egy jel időfrekvenciás ábrázolása, amely egyszerre ad jó lokalizációt időben és frekvenciában. Széles körben használják zajcsökkentésre, jellemzőkinyerésre, jeltömörítésre és időben változó spektrális jellegzetességek vizsgálatára.

Matematikai definíció (folytonos wavelet-transzformáció)

A folytonos jel hullámtranszformációja a következőképpen definiált

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} ,

ahol

  • ψ {\displaystyle \psi } \psi az úgynevezett anya‑wavelet, amelynek jó lokalizációs és nulla átlagú tulajdonsága szükséges lehet;
  • a {\displaystyle a} a wavelet tágítási (skálázási) paramétere — a>1 nagyobb skálát (alacsonyabb frekvenciát), 0<a<1 kisebb skálát (magasabb frekvenciát) jelent;
  • b {\displaystyle b} a wavelet időeltolódását jelöli (továbbcsúsztatás az időtengelyen);
  • A ∗ {\displaystyle *}{\displaystyle *} szimbólum a komplex konjugáltat jelöli.

Röviden: a CWT (Continuous Wavelet Transform) a jel és a skálázott‑eltolt anya‑wavelet belső szorzatát adja, így megmutatja, mennyire hasonlít a jel egy adott skálájú és helyzetű wavelethez.

Feltételek és inverz transzformáció

Az anya‑waveletnek általában teljesítenie kell az ún. admissibility (alkalmazhatósági) feltételt, amely biztosítja az inverz transzformáció létezését. Fourier-transzformáltjával Ψ(ω) ez a feltétel:

  • Admissibility: Cψ = ∫_{0}^{∞} |Ψ(ω)|^2 / ω dω < ∞, ami többek között megköveteli, hogy Ψ(0)=0 (az anya‑wavelet nulla átlagú legyen).

Inverzió: ha az admissibility teljesül, a jel visszaállítható a CWT‑ből egy inverziós integrál segítségével (a pontos formula deriválása a választott normalizációtól függ). Gyakorlati alkalmazásoknál gyakran diszkrét vagy numerikus rekonstrukciót használnak.

Diszkrét wavelet-transzformáció (DWT) és dyadikus skálázás

A wavelet‑transzformáció diszkrétített változata akkor alakul ki, ha a skálázási és eltolási paramétereket rácsra választjuk. Ha

A = a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} és b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}} esetén {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}, ahol a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0} és m{\displaystyle T>0} és k k egész számok, akkor a folytonos transzformáció diszkrétített változatát kapjuk.

Ha különösen a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}{\displaystyle a=2^{m}} és b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}} {\displaystyle b=2^{m}kT}, akkor a diszkrét wavelet transzformációt dyadikusnak nevezzük. Definíciója a következő:

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,

ahol

  • m {\displaystyle m}m a frekvenciaskála (skálaindex),
  • k {\displaystyle k}k az időskála (eltolásindex),
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} konstans, amely az anya‑wavelet‑től és a diszkrétítés módjától függ.

A dyadikus DWT gyakran vezet a gyakorlatban használt mátrix/szűrőbank megvalósításokhoz, ahol a jel iteratív módon alul- és felüláteresztő szűrőkön (scaling / wavelet filter) halad át, majd downsampling történik.

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

ahol h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} a folytonos szűrő impulzusjellemzője, amely adott m {\displaystyle m}m esetén megegyezik ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}.

Gyors wavelet-transzformáció (FWT) és szűrőbankok

Gyakorlati DWT‑számításokhoz a Mallat‑algoritmus (piramisszerű, többlépcsős szűrőbank) ad hatékony megvalósítást, amely két szűrőt alkalmaz minden lépésben: egy aluláteresztőt (közelié) és egy felüláteresztőt (részlet). Minden szűrőzés után downsampling következik, így logaritmikus komplexitás érhető el az idő/több szintű felbontás miatt. Fontos fogalmak:

  • Skálafüggvény (scaling function, φ): a hozzá tartozó két‑skálás egyenlet (two‑scale relation) adja a hullámfüggvények és a szűrők kapcsolatát.
  • Ortonormalitás és tökéletes rekonstrukció: speciális filter‑párok (adott feltételek teljesülése esetén) biztosítják, hogy a feldolgozott jelből pontosan visszaállítható legyen az eredeti jel.

Wavelet‑családok (példák)

  • Haar: legegyszerűbb, lépcsős wavelet; gyors és intuitív, de nem folytonos.
  • Daubechies (dbN): kompakt támogatású, sima waveletek különböző rendekkel; jó kompromisszum a simaság és lokalizáció között.
  • Symlets, Coiflets: szimmetrizált vagy speciális momentumokkal rendelkező családok, amelyek javítják a rekonstrukciót és a numerikus tulajdonságokat.
  • Morlet, Mexican hat (Ricker): folytonos, analitikus waveletek, gyakran használják CWT‑hez, idő‑frekvencia ábrázolásokhoz.

Alkalmazások

  • Zajcsökkentés (denoising): wavelet‑thresholding (szintenkénti küszöbölés) hatékony az adatokban található fehér/zaj komponensek eltávolítására, miközben megőrzi az éles tranzienseket.
  • Jeltömörítés: JPEG2000 képtömörítési szabvány wavelet alapú; DWT segítségével ritkábban reprezentálhatók a jel-minták.
  • Jellemzőkinyerés és osztályozás: orvosi jelekből (pl. EEG, ECG), gépi állapotfelügyeletből és beszédfeldolgozásból nyerhetők ki jellemzők.
  • Idő‑frekvencia elemzés: nem‑stacionárius jelek vizsgálata, például szeizmikus adatok, pénzügyi idősorok vagy hangjelek időbeli változásainak feltárása.
  • Kép- és képfeldolgozás: élek, textúra és tömörítés területein széles körben alkalmazzák.

Gyakorlati megvalósítás és eszközök

Sok numerikus könyvtár és szoftver tartalmaz wavelet‑eszköztárat (pl. MATLAB Wavelet Toolbox, Python: PyWavelets, SciPy). A választott anya‑wavelet, a szintek száma és a küszöbölési stratégia nagyban befolyásolja az eredményt, ezért gyakran szükséges kísérleti finomhangolás.

Összefoglalás

A wavelet‑transzformáció egy rugalmas és hatékony módszer nem‑stacionárius jelek többskálájú elemzésére. A CWT részletes idő‑frekvencia ábrázolást ad, míg a DWT és annak gyors implementációi kényelmesek gyakorlati zajcsökkentésre, tömörítésre és jellemzőkinyerésre. A wavelet‑választás és a diszkrétítás módja mindig az adott feladattól függ.

Ajánlott irodalom: S. Mallat: "A Wavelet Tour of Signal Processing", I. Daubechies: "Ten Lectures on Wavelets" — ezek részletes matematikai és gyakorlati áttekintést adnak a témáról.

Analóg módon, a diszkrét időben (diszkrét jel) dyadikus wavelet transzformáció a következőképpen definiálható