Prímszámtétel
A prímszámtétel a számelmélet egyik tétele. A prímszámok nem egyenletesen oszlanak el a számtartományban. A tétel azt az elképzelést formalizálja, hogy a számok növekedésével egyre kisebb a valószínűsége annak, hogy 1 és egy adott szám közötti prímszámot találunk. Ez a valószínűség körülbelül n/ln(n), ahol ln(n) a természetes logaritmus függvénye. Ez azt jelenti, hogy a 2n számjegyű prímszám eltalálásának valószínűsége körülbelül feleakkora, mint n számjegyű számmal. Például a legfeljebb 1000 számjegyű pozitív egész számok közül körülbelül minden 2300-ból egy prímszám (ln 101000 ≈ 2302,6), míg a legfeljebb 2000 számjegyű pozitív egész számok közül körülbelül minden 4600-ból egy prímszám (ln 102000 ≈ 4605,2). Más szóval, az első N egész szám között az egymást követő prímszámok közötti átlagos különbség nagyjából ln(N).
A tizenöt éves Carl Friedrich Gauss 1793-ban sejtette, hogy a prímszámok és a logaritmusok között kapcsolat van. Adrien-Marie Legendre 1798-ban szintén gyanította ezt a kapcsolatot. Jacques Hadamard és Charles-Jean de La Vallée Poussin 1896-ban, több mint egy évszázaddal Gauss után bizonyította be a prímszámtételt.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a prímszámtétel?
V: A prímszámtétel egy számelméleti tétel, amely megmagyarázza, hogyan oszlanak el a prímszámok a számtartományban.
K: A prímszámok egyenletesen oszlanak el a számtartományban?
V: Nem, a prímszámok nem egyenletesen oszlanak el a számtartományban.
K: Mit formalizál a prímszámtétel?
V: A prímszámtétel azt az elképzelést formalizálja, hogy a számok növekedésével egyre kisebb a valószínűsége annak, hogy 1 és egy adott szám közötti prímszámot találunk.
K: Mekkora a valószínűsége annak, hogy 1 és egy adott szám közötti prímszámot találunk?
V: Az 1 és egy adott szám közötti prímszám eltalálásának valószínűsége körülbelül n/ln(n), ahol ln(n) a természetes logaritmus függvénye.
K: A 2n számjegyű prímszám eltalálásának valószínűsége nagyobb, mint az n számjegyű prímszám eltalálásának valószínűsége?
V: Nem, egy 2n számjegyű prímszám eltalálásának valószínűsége körülbelül feleakkora, mint n számjegyű számmal.
K: Ki bizonyította be a prímszámtételt?
V: Jacques Hadamard és Charles-Jean de La Vallée Poussin 1896-ban bizonyította a prímszámtételt, több mint egy évszázaddal azután, hogy Gauss 1793-ban megsejtette a kapcsolatot a prímszámok és a logaritmusok között.
K: Mekkora az első N egész szám közül az egymást követő prímszámok közötti átlagos különbség?
V: Az első N egész szám között az egymást követő prímszámok közötti átlagos különbség nagyjából ln(N).
