Poláris másodrendű területi nyomaték (J): definíció, képletek és alkalmazás

Poláris másodrendű területi nyomaték (J): tiszta definíciók, lépésről lépésre képletek és valós mérnöki alkalmazások csavarodás-ellenállás számításához.

Szerző: Leandro Alegsa

20-12-2025 13:28

Megjegyzés: A különböző tudományágak a tehetetlenségi nyomaték kifejezést különböző nyomatékokra használják. A fizikában a tehetetlenségi nyomaték szigorúan a tömeg második nyomatéka a tengelytől való távolság függvényében, amely egy tárgy szöggyorsulását jellemzi egy alkalmazott nyomaték hatására. A mérnöki tudományokban (különösen a gépészetben és az építőiparban) a tehetetlenségi nyomaték általában a terület második nyomatékára utal. A poláris tehetetlenségi nyomaték olvasásakor ügyeljen arra, hogy ellenőrizze, hogy a "terület poláris második nyomatékára" és nem a tehetetlenségi nyomatékra utal. A poláris második területi nyomaték mértékegysége a hossz negyedik hatványa (pl. m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ vagy i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), míg a tehetetlenségi nyomaték a tömeg és a hossz négyzete (pl. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ vagy l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). $lb*in^{2}$ ).

A poláris második területi nyomaték (más néven "poláris tehetetlenségi nyomaték") egy tárgy csavarodással szembeni ellenálló képességének mérőszáma az alakja függvényében. Ez az egyik aspektusa a merőleges tengelytételen keresztül összekapcsolt második területi nyomatéknak, ahol a síkbeli második területi nyomaték a gerenda keresztmetszeti alakját használja a gerenda deformációval (hajlítással) szembeni ellenállásának leírására, amikor a semleges tengellyel párhuzamos síkban kifejtett erőnek van kitéve, a poláris második területi nyomaték pedig a gerenda keresztmetszeti alakját használja a gerenda deformációval (csavarodással) szembeni ellenállásának leírására, amikor a gerenda semleges tengelyére merőleges síkban kifejtett erő (nyomaték) van kifejtve. Míg a síkbeli második területi nyomatékot leggyakrabban az I {\displaystyle I} betűvel jelölik, addig a poláris második területi nyomatékot leggyakrabban az I z {\displaystyle I_{z}} betűvel jelölik. $I_{z}$ vagy a J {\displaystyle J} betűvel jelölik. $J$ , a mérnöki tankönyvekben.

A poláris második területi nyomaték számított értékeit leggyakrabban a tömör vagy üreges hengeres tengelyek csavarási ellenállásának leírására használják, mint például egy jármű tengelye vagy hajtótengelye. Ha nem hengeres gerendákra vagy tengelyekre alkalmazzák, a tengely/gerenda torzulása miatt a terület poláris második momentumára vonatkozó számítások hibásak lesznek. Ezekben az esetekben egy torziós állandót kell használni, ahol az érték számításához egy korrekciós állandó kerül hozzáadásra.

A terület poláris második momentuma a hosszegységeket a negyedik hatványra ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); a métereket a negyedik hatványra ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) a metrikus mértékegységrendszerben, és az incheket a negyedik hatványra ( i n 4 {\displaystyle in^{4}}} $in^{4}$ ) a birodalmi mértékegységrendszerben. A közvetlen számítás matematikai képlete az alakzat területének többszörös integráljaként van megadva, R {\displaystyle R} egy $R$ tetszőleges O {\displaystyle O} $O$ tengelytől ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ távolságban.

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

A legegyszerűbb formában a terület poláris második momentuma a terület két síkbeli második momentumának, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ és I y {\displaystyle I_{y}} összegzése. $I_{y}$ . A Pitagorasz-tétel alapján az O tengelytől való távolság {\displaystyle O} $O$ ρ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ felbontható x {\displaystyle x} $x$ és y {\displaystyle y} $y$ összetevőire, és a területváltozás d A {\displaystyle dA} $dA$ , az x {\displaystyle x} $x$ és y {\displaystyle y} $y$ összetevőire, d x {\displaystyle dx} $dx$ és d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Adott a terület síkbeli második pillanatainak két képlete:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ , és I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

A terület poláris második momentumával való összefüggés a következőképpen mutatható ki:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \dezért J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Lényegében, ahogy a poláris második területi nyomaték nagysága növekszik (azaz nagy tárgykeresztmetszetű alak), úgy nagyobb nyomatékra van szükség a tárgy csavarodási alakváltozásának előidézéséhez. Meg kell azonban jegyezni, hogy ez nem befolyásolja az alkotóanyagok által a tárgynak biztosított torziós merevséget; a terület poláris második momentuma egyszerűen a tárgynak csak az alakja által biztosított merevség. Az anyagjellemzők által biztosított torziós merevséget nyírási modulusnak, G {\displaystyle G} $G$ nevezik. A merevség e két komponensét összekapcsolva kiszámítható a gerenda csavarodási szöge, θ {\displaystyle \theta}. $\theta$ segítségével:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Ahol T {\displaystyle T} $T$ az alkalmazott nyomaték (nyomaték) és l {\displaystyle l} $l$ a gerenda hossza. Mint látható, a nagyobb nyomatékok és gerendahosszak nagyobb szögelhajlásokhoz vezetnek, ahol a poláris második területi nyomaték, J {\displaystyle J} $J$ és az anyag nyírási modulusa, G {\displaystyle G} $G$ , csökkenti a szögelhajlások lehetőségét.

Gyakori keresztmetszetek: zárt alakú képletek

Tömör kör (centroid kör, sugár r vagy átmérő d):
- J = (π/2) r4 = (π/32) d4
Körhéj (üreges kör, külső sugár ro, belső sugár ri):
- J = (π/2) (ro4 − ri4) = (π/32) (do4 − di4)
Teglalap (szélesség b és magasság h, centroid körül):
- Ix = b h3 / 12, Iy = h b3 / 12
- J = Ix + Iy = (b h3 + h b3) / 12 = bh(b2 + h2) / 12
Vékonylapos zárt cső (thin-walled, zárt):
- A vékony falú, zárt keresztmetszet torziós állandója (nem mindig azonos a poláris második momentummal) közelítőleg: Jt ≈ 4A2 / ∮(ds / t), ahol A a zárt profil belső területe, ds a fal hosszának eleme és t a falvastagság. (Pontosan: a vékony falas zárt profiloknál a Saint‑Venant torziós állandót használjuk.)

Poláris második momentum vs. torziós állandó (torsion constant)

Fontos különbség: a poláris második területi nyomaték (J = ∫ρ2 dA) tisztán geometriai mennyiség, amely az alakzat „helykitöltését” méri. A valós csavarodási viselkedés leírásához azonban az anyag jellemzője, a nyírási modulus (G), és gyakran a tényleges torziós állandó (gyakran Jt vagy C jelöléssel) is szükséges. Csak axiálisan körszimmetrikus (kör) tengelyek esetén ad a poláris második momentum közvetlenül helyes eredményt a csavarásra vonatkozóan. Nem kör (nem axiálisan körszimmetrikus) keresztmetszeteknél a keresztmetszet torzulása (warping) miatt a poláris második momentum használata hibás lesz; ilyenkor a Saint‑Venant megoldást és a megfelelő torziós állandót kell alkalmazni.

Alkalmazási példa (számítás)

Példa: tömör acél tengely, d = 40 mm (r = 0,02 m), T = 200 N·m, l = 1 m, G ≈ 79 GPa (acél).

J = (π/2) r4 = (π/2) (0,02 m)4 ≈ 2,513·10−7 m4
θ = T l / (J G) = 200·1 / (2,513·10−7 · 79·109) ≈ 0,0101 rad ≈ 0,58°

Ez mutatja, hogyan kapcsolódik össze a geometria (J) és az anyag (G) a csavarási szög meghatározásánál.

Gyakorlati megjegyzések és javaslatok

Mindig ellenőrizze a mértékegységeket: J m4-ben vagy in4-ben adódik. Átváltásnál ügyeljen a hossz negyedik hatványára.
Kör keresztmetszetnél a poláris második momentumot biztonsággal lehet használni a csavarás számítására. Nem kör keresztmetszetnél használjon torziós állandót (Jt) és vegye figyelembe a warping effektust vagy számítógépes módszereket (FEA), ha szükséges.
A vékony falú, zárt szelvényeknél a Jt és a poláris második momentum eltérhet; a vékonyfalas képletek speciális integrálokat tartalmaznak (pl. 4A2 / ∮(ds/t)).
Szoftverek (CAD/FEA) és mérnöki táblázatok gyakran tartalmazzák a standard keresztmetszetek J és Jt értékeit — ezek használata gyors és megbízható a tervezésben.

Összefoglalás

A poláris második területi nyomaték (J) egy alapvető geometriai jellemző, amely megmutatja, hogy egy keresztmetszet mennyire ellenáll a csavarodásnak az alakját tekintve. A tényleges csavarási merevség azonban a geometria mellett az anyag nyírási modulusától és — nem körszimmetrikus vagy vékonyfalú esetben — a megfelelő torziós állandótól is függ. Tervezéskor mindig válassza a megfelelő képletet és vegye figyelembe a keresztmetszet típusát (kör, üreges kör, téglalap, vékonyfalú zárt profil stb.).

A terület poláris második momentumának ("Polar Moment of Inertia") kiszámítása egy tetszőleges, R területű alakzatra egy o tengely körül, ahol ρ a dA elemtől való radiális távolság.

Kapcsolódó oldalak

Momentum (fizika)
A terület második momentuma
A terület második pillanatainak listája standard alakzatokhoz
Nyírási modulus

Kérdések és válaszok

K: Mi a tehetetlenségi nyomaték a fizikában?

V: A fizikában a tehetetlenségi nyomaték szigorúan a tömegnek a tengelytől való távolsághoz viszonyított második nyomatéka, amely egy tárgy szöggyorsulását jellemzi egy alkalmazott nyomaték hatására.

K: Mit jelent a poláris második területi nyomaték a mérnöki tudományban?

V: A mérnöki tudományokban (különösen a gépészetben és az építőiparban) a tehetetlenségi nyomaték általában a terület második pillanatára utal. A poláris tehetetlenségi nyomaték olvasásakor ügyeljen arra, hogy ellenőrizze, hogy a "terület poláris második nyomatékára" és nem a tehetetlenségi nyomatékra utal. A terület poláris második pillanatának mértékegységei a negyedik hatványig terjedő hosszúság (pl. m^4 vagy in^4).

K: Hogyan számoljuk ki a terület poláris második pillanatát?

V: A közvetlen számítás matematikai képlete egy alakzat R területére vonatkozó többszörös integrálként van megadva egy tetszőleges O tengelytől ρ távolságban. J_O=∬∬Rρ2dA. A legegyszerűbb formában a poláris másodperc

Keres