Torzió (csavarodás) – definíció, képletek és nyírófeszültség

Jelmagyarázat és kiegészítések

• T — a tengelyre ható csavaró nyomaték (torque). Mértékegysége a SI-ben N·m.
• r — a keresztmetszet egy pontjának távolsága a tengelytől (m).
• J — a poláris tehetetlenségi nyomaték, J = ∫ r2 dA (m4). Ez a kör keresztmetszet esetén a geometriai ellenállást jellemzi a csavarodásra.
• τ — nyírófeszültség (Pa = N/m2). A formula szerint τ(r) = T r / J, azaz radiálisan arányos a r-rel: nulla a tengelyen, maximum a külső sugárnál.
• θ — a teljes csavarodási szög (radiánokban). Lineáris rugalmas tartományban θ = T L / (J G).
• L — a tengely csavarodó hossza (m).
• G — a nyíró rugalmassági modul (scher modulus), mértékegysége Pa. Kapcsolatban áll a Young-modullal és Poisson-tényezővel: G = E / [2(1+ν)].

Gyakori, hasznos képletek és speciális esetek

• Maximális nyírófeszültség a kör keresztmetszet külső felületén (r = R): τmax = T R / J. A szilárd kör esetén J = (π/2) R4, így τmax = 2T / (π R3).
• Csavarodás egységnyi hosszra (csavarodási szög per hossz): dθ/dx = T / (G J). Így a teljes θ = (T L) / (G J).
• Szilárd kör keresztmetszetre: J = (π/2) R4.
• Körgyűrű (hollow shaft) esetén: J = (π/2)(Ro4 − Ri4), ahol Ro a külső, Ri a belső sugár.

Fizikai magyarázat és deriváció (röviden)

A csavarodás során a keresztmetszet egyes gyűrűi elfordulnak, a szögtörés per hossz (dθ/dx) miatt a kör sugaránál a nyíró alakváltozás nagysága γ = r (dθ/dx). Hooke-törvény szerint τ = G γ, tehát τ = G r (dθ/dx). Mivel a belső nyomatékot a keresztmetszeten fellépő nyírófeszültségek hozzák létre: T = ∫ τ r dA = ∫ G r2 (dθ/dx) dA = G (dθ/dx) J. Innen dθ/dx = T/(G J) és τ = Tr/J adódik.

Alkalmazhatóság és korlátok

• A fenti egyszerű formulák lineáris rugalmas anyagokra és kis forgatásokra (kis deformációkra) érvényesek.
• Kör alakú, zárt keresztmetszetekre (szilárd és cső) a τ = Tr/J és θ = TL/(JG) jó közelítések. ilyen keresztmetszeteknél a keresztmetszet nem "torzul" (nem warpolódik) jelentősen Saint-Venant feltételei mellett.
• Nem kör keresztmetszeteknél (pl. téglalap, L-profil, vékony falú nyitott profilok) a feszültség-eloszlás nem egyszerűen radiális, és a csavarás jellemzésére általában a torsionális állandót (Jt vagy It) használják, amely eltér a geometriai poláris tehetetlenségtől. Vékony falú zárt keresztmetszetekre létezik közelítő formula (thin-walled closed): J ≈ 4 A_m^2 / ∮ (ds / t), ahol A_m a középső felület által határolt terület, ds a falhossz eleme és t a falvastagság.
• Nagy torziók, anyagnemlinearitás, hőhatások vagy komplex geometriák esetén numerikus módszerek (pl. véges elemes analízis) szükségesek az pontos eredményekhez.

Tervezési megfontolások

• A csavaró terhelésnél gyakran a τmax és a csavarási szög (merevség) a tervezés kulcspontjai: biztosítani kell, hogy τmax kisebb legyen az anyag megengedett nyírási határánál, illetve a csavarási szög megfeleljen a működési követelményeknek.
• A biztonsági tényező választása, a csatlakozó elemek (pl. kulcsok, csapok) vizsgálata és fáradásvizsgálat fontos, ha váltakozó csavaró terhelés lép fel.
• A nyomaték irányát szokás a jobb- (jobbmenetes) szabálynak megfelelően a jobbkéz szabályával értelmezni: a hüvelykujj mutatja a nyomaték irányát, a behajlított ujjak pedig a pozitív forgást.

Az itt közölt alapképletek és fogalmak jó kiindulási pontot adnak a tengelyek és csavarok tervezéséhez, de összetettebb keresztmetszetek és határfeltételek vizsgálatához kiegészítő elmélet vagy numerikus modellezés szükséges.