Parciális derivált: definíció, jelölés és többváltozós függvények

Parciális derivált: definíció, jelölés és számítás többváltozós függvényeknél — érthető magyarázatok, példák és lépésről lépésre útmutató a gyakorlati alkalmazásokhoz.

A számtanban, a matematika egyik fontos fogalma a függvény parciális deriváltja. Egy többváltozós függvény parciális deriváltja azt jelenti, hogy a függvényt egy meghatározott változó szerint differenciáljuk, miközben a többi változót állandónak tekintjük. Más szóval a parciális derivált a függvény bizonyos, megjelölt változóinak deriváltját veszi, és nem differenciálja a többi változó(ka)t. Az alábbi jelölés gyakran használatos:

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

A jelölés mellett fontos megérteni a szemléletet: ha f függvény például x és y változótól függ, akkor a f-nek az x szerinti parciális deriváltja azt mutatja meg, hogyan változik f, ha csak x-et változtatjuk, y-t pedig rögzítjük.

Számítás — hogyan képződik a parciális derivált

Legyen f(x,y) egy többváltozós függvény. Az x szerinti parciális deriváltat úgy kapjuk meg, hogy y-t konstansnak tekintjük és a szokásos egyváltozós differenciálási szabályokat alkalmazzuk:

• Ha f(x,y) = x^2 y + sin(x y), akkor ∂f/∂x = 2x y + cos(x y)·y (mivel y konstansként viselkedik).
• Általánosan: ∂f/∂x = lim_{h→0} (f(x+h,y) − f(x,y))/h, ahol y rögzítve van.

Jelölések és variánsok

A parciális deriváltat többféleképpen jelölhetjük: ∂f/∂x, f_x, D_x f vagy ∂_x f. A választott jelölés gyakran a szerzőtől vagy a szövegkörnyezettől függ, de mind ugyanazt a műveletet jelenti: a függvény differenciálását az adott változó szerint, miközben a többi változót rögzítettnek tekintjük.

Magasabb rendű és vegyes parciális deriváltak

A parciális deriváltakból további deriváltak képezhetők:

• Másodrendű parciális derivált: ∂²f/∂x² vagy f_{xx} — ha kétszer differenciálunk ugyanaz szerint.
• Vegyes parciális derivált: ∂²f/∂x∂y vagy f_{xy} — ha először x szerint, majd y szerint differenciálunk (vagy fordítva).

Ha a függvény és parciális deriváltjai kellőképpen folytonosak egy pont környezetében, akkor a vegyes parciálisak sorrendje felcserélhető (Clairaut–Schwarz tétel): f_{xy} = f_{yx}.

Kapcsolódó fogalmak

• Gradiens: Többváltozós függvény esetén a parciális deriváltak vektora a gradiens: ∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, …). A gradiens mutatja a függvény növekedésének irányát és meredekségét a legnagyobb emelkedés irányában.
• Iránymenti derivált: A parciális derivált egy speciális esete, amikor a változás iránya az egyik koordináta tengelye; általános irányok szerint vett derivált a parciális deriváltak és a láncszabály kombinációjával számítható.
• Láncszabály többváltozós esetben: Ha változók egymástól függnek (például x = x(t), y = y(t)), akkor a teljes derivált d/dt f(x(t),y(t)) a parciális deriváltak és az x'(t), y'(t) kombinációja: d f/dt = (∂f/∂x) x'(t) + (∂f/∂y) y'(t).

Létezés és folytonosság

A parciális deriváltak létezése nem mindig garantálja a függvény differenciálhatóságát többváltozós értelemben. Egy függvénynek lehetnek parciális deriváltjai egy pontban, mégsem lesz differenciálható ott. A differenciálhatóság erősebb feltétel: azt kéri, hogy a függvény a lineáris közelítéssel jól megközelíthető legyen a pont környezetében. Ha a parciális deriváltak a pont környezetében folyamatosak, akkor a függvény biztosan differenciálható.

Példák és alkalmazások

• Fizika: hőmérséklet- vagy nyomásmezők változásának vizsgálata egy adott irányban.
• Gazdaság: többváltozós haszon- vagy költségfüggvénynél az egyes erőforrások marginális hatásának elemzése.
• Optimalizálás: szélsőértékek keresése többváltozós függvényeknél a parciális deriváltak nullhelyeinek vizsgálatával (kritikus pontok), majd a másodrendű parciálisak segítségével történő klasszifikációval.

Összefoglalás

A parciális derivált alapvető eszköz a többváltozós analízisben. Lehetővé teszi annak vizsgálatát, hogyan reagál egy függvény egyetlen változó megváltoztatására, miközben a többi változót rögzítjük. Jelölései többfélék lehetnek (például ∂f/∂x, f_x), és a fogalom szoros kapcsolatban áll a gradienssel, a láncszabállyal, valamint a többváltozós differenciálhatóság és optimalizálás elméletével.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a parciális származék?

K: Hogyan szokták a parciális deriváltat jelölni?

K: A parciális deriváltat mindig többváltozós függvényben vesszük?

K: Mit jelent egy függvény bizonyos jelzett változóinak differenciálása?

K: Milyen típusú számítást foglal magában ez a fogalom?

K: Vannak-e más érvényes jelölések a parciális deriváltra a szövegben említetteken kívül?

Keresés betűvel