Newton-módszer
A Newton-módszer egy függvény valós nullpontjainak megtalálására ad módot. Ezt az algoritmust néha Newton-Raphson-módszernek is nevezik, Sir Isaac Newton és Joseph Raphson után elnevezve.
A módszer a függvény deriváltját használja a gyökerek megtalálásához. A nullpont helyére vonatkozóan egy kezdeti "becsült értéket" kell megadni. Ebből az értékből egy új becsült értéket számolunk ki ezzel a képlettel:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Itt xn a kezdeti tipp, xn+1 pedig a következő tipp. Az f függvénynek (amelynek nullpontját megoldjuk) f' deriváltja van.
Ha ezt a képletet ismételten alkalmazzuk a generált találgatásokra (azaz az xn értékét a képlet kimenetére állítjuk és újraszámoljuk), a találgatások értéke a függvény nullájához fog közelíteni.
A Newton-módszer grafikusan is elmagyarázható, ha az érintővonalak és az x-tengely metszéspontjait nézzük. Először is, kiszámítjuk az f-et xn-nél érintő egyenest. Ezután megkeressük ennek az érintővonalnak és az x-tengelynek a metszéspontját. Végül ennek a metszéspontnak az x-pozícióját rögzítjük a következő találgatásként, xn+1.
A függvényt (kék) az xn pontban lévő érintővonal (piros) meredekségének kiszámítására használjuk.
Problémák a Newton-módszerrel
A Newton-módszer gyorsan talál megoldást, ha a becsült érték elég közel kezdődik a kívánt gyökhöz. Ha azonban a kezdeti becsült érték nem közel van, és a függvénytől függően a Newton-módszer lassan vagy egyáltalán nem találja meg a választ.
További olvasmányok
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newton-módszer: Kantorovics elméletének aktualizált megközelítése. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Második nyomtatott kiadás. Series Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Történelmi fejlemények a Newton- és Newton-szerű módszerek konvergenciaelemzésében". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (szerk.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century. North-Holland. pp. 241-263.
Lásd még
- Kantorovics-tétel (Leonyid Kantorovics által talált állítás a Newton-módszer konvergenciájáról)
| Hatósági ellenőrzés |
|
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Newton-módszer?
V: A Newton-módszer egy algoritmus egy függvény valós nullpontjainak megtalálására. A függvény deriváltját használja a gyökök kiszámításához, és egy kezdeti becsült értéket igényel a nulla helyére vonatkozóan.
K: Ki fejlesztette ki ezt a módszert?
V: A módszert Sir Isaac Newton és Joseph Raphson fejlesztette ki, ezért néha Newton-Raphson-módszernek is nevezik.
K: Hogyan működik ez az algoritmus?
V: Ez az algoritmus egy olyan képlet ismételt alkalmazásával működik, amely egy kezdeti becsült értéket (xn) vesz fel, és egy új becsült értéket (xn+1) számol ki. Ezt a folyamatot megismételve a kitalált értékek a függvény nulla értékéhez közelítenek.
K: Mi szükséges ennek az algoritmusnak a használatához?
V: Ennek az algoritmusnak a használatához rendelkeznie kell egy kezdeti "tippértékkel" a nulla helyére vonatkozóan, valamint az adott függvény deriváltjának ismeretével.
K: Hogyan lehet grafikusan elmagyarázni a Newton-módszert?
V: A Newton-módszert grafikusan úgy tudjuk elmagyarázni, hogy megnézzük az érintővonalak és az x-tengely metszéspontjait. Először kiszámítjuk az f-hez xn pontban érintő egyenest. Ezután megkeressük ennek az érintővonalnak a metszéspontját az x-tengellyel, és feljegyezzük annak x-pozícióját, mint a következő tippünket - xn+1.
K: Van-e valamilyen korlátozás a Newton-módszer használatakor?
V: Igen, ha a kezdeti becsült érték túl messze van a tényleges gyökértől, akkor hosszabb időbe telhet, vagy akár nem is konvergálhat a gyökér felé a gyökér körüli oszcilláció vagy a gyökértől való eltérés miatt.
