A Newton-módszer egy függvény valós nullpontjainak megtalálására ad módot. Ezt az algoritmust néha Newton-Raphson-módszernek is nevezik, Sir Isaac Newton és Joseph Raphson után elnevezve.

A módszer a függvény deriváltját használja a gyökerek megtalálásához. A nullpont helyére vonatkozóan egy kezdeti "becsült értéket" kell megadni. Ebből az értékből egy új becsült értéket számolunk ki ezzel a képlettel:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}

Itt xn a kezdeti tipp, xn+1 pedig a következő tipp. Az f függvénynek (amelynek nullpontját megoldjuk) f' deriváltja van.

Ha ezt a képletet ismételten alkalmazzuk a generált találgatásokra (azaz az xn értékét a képlet kimenetére állítjuk és újraszámoljuk), a találgatások értéke a függvény nullájához fog közelíteni.

Alapfeltételek és konvergencia

A Newton-módszer jól működik, ha az alábbi feltételek teljesülnek:

  • f folytonosan differenciálható az érdeklődés tartományában (általában legalább egyszer),
  • a gyök egyszeres (azaz f(r) = 0, de f'(r) ≠ 0),
  • a kezdőbecslés x0 elég közel van a valódi gyökhöz.

Ha ezek teljesülnek és a kezdőérték megfelelően közel van, a Newton-módszer kvadratikus konvergenciát mutat a egyszeres gyökök körül: a hiba nagysága közelítőleg négyzetére csökken iterációnként. Többszörös gyök esetén a konvergencia általában lassabb (lineáris vagy egyéb). A módszer viszont lokálisan konvergens — nem garantált a globális konvergencia rosszul megválasztott kezdőértéknél.

Lépések (algoritmus lépésről lépésre)

  • Válassz egy kezdőértéket x0 (becslés a gyökre).
  • Számítsd ki f(xn) és f'(xn).
  • Ha f'(xn)=0 vagy nagyon kicsi, más módszer vagy módosítás szükséges (lásd tovább).
  • Frissítsd xn+1 = xn − f(xn)/f'(xn).
  • Ellenőrizd a megszakítási feltételeket: például |f(xn+1)| < tol, |xn+1 − xn| < tol vagy elértük a maximális iterációszámot.
  • Ha a feltétel nincs teljesülve, állítsd xn := xn+1 és ismételd.

Példa

Vegyük f(x) = x² − 2 (gyök: √2 ≈ 1,41421356). Kezdőérték legyen x0 = 1.

  • x1 = 1 − (1² − 2)/(2·1) = 1.5
  • x2 = 1.5 − (1.5² − 2)/(2·1.5) = 1.4166666667
  • x3 ≈ 1.4142156863 — rövid iteráció után nagyon közel kerülünk a valódi gyökhöz.

Ez a példa szemlélteti a módszer gyors (kvadratikus) konvergenciáját egyszeres gyök esetén.

Gyakori problémák és megoldások

  • Derivált zérus vagy kicsi értéke: ha f'(xn)=0, a képlet nem használható. Ilyenkor érdemes másik kezdőértéket választani, vagy használni módosított Newton-módszert (pl. csillapított lépések) vagy szekáns módszert.
  • Eltávolodás vagy oszcilláció: rossz kezdőértékeknél az iteráció eltávolodhat a gyöktől vagy oszcillálhat. Megoldás: hibakeresés vizualizációval, több kezdőpont próbája, vagy hibrid módszer (bisection + Newton) alkalmazása.
  • Többszörös gyökök: ha a gyök többszörös (f'(r)=0), a konvergencia lassabb lehet. Ilyenkor speciális formulák vagy gyökdefláció alkalmazása segíthet.
  • Komplex gyökök: ha valós kezdőértékről indulsz, lehet, hogy a módszer komplex sík felé tereli az iterációt — ilyenkor komplex kezdőértékekre is szükség lehet.

Módosítások és alternatívák

  • Csillapított (damped) Newton: xn+1 = xn − λ·f(xn)/f'(xn) ahol 0<λ≤1 választásával elkerülhetők nagy ugrások.
  • Szekáns módszer: ha f' nehezen számítható, a szekáns módszer numerikus derivált helyett két korábbi xi-t használ.
  • Hibrid módszerek: például bisection + Newton: a bisection garantálja a globális konvergenciát, a Newton pedig gyors helyi konvergenciát.

Megjegyzések

A Newton-módszer egy iteratív, gyorsan konvergáló eljárás egyszeres gyökök megtalálására, de feltételezi a derivált ismeretét és nem garantálja a globális konvergenciát. Széles körben használják gyökkeresésre és optimalizációs feladatokban is (például másodrendű Taylor-közelítések alkalmazásával). Fontos a megfelelő kezdőérték kiválasztása és a megszakítási feltételek megadása a numerikus megvalósításokban.