Perdület (szögnyomaték): definíció, képlet és példák
Perdület (szögnyomaték): világos definíció, fontos képletek és gyakorlati példák lépésről lépésre — minden, amit a forgási impulzusról tudni kell.
Egy tengely körül forgó tárgy szögnyomatéka vagy forgási nyomatéka (L) a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata:
L = I ω {\displaystyle L=I\omega } 
ahol
I {\displaystyle I}
a tehetetlenségi nyomaték (a szöggyorsulással vagy lassulással szembeni ellenállás, amely egyenlő a tömeg és a forgástengelytől való merőleges távolság négyzetének szorzatával);
ω {\displaystyle \omega \ }
a szögsebesség.
Kétféle forgatónyomaték létezik: a spin-forgatónyomaték és a keringési forgatónyomaték.
Részletesebb magyarázat
Szögnyomaték (vektorformában): általános esetben a forgási mennyiség vektoros alakja
L = Σ ri × pi,
ahol ri a i-edik tömegpont helyvektora a választott eredőhöz képest, pi pedig a lendülete (p = m v). Folytonos test esetén ez az integrál:
L = ∫ r × v dm.
Ha egy merev test egy főtehetetlenségi tengelye körül forog, akkor a vektoros reláció egyszerűsödhet a skaláris alakra L = I ω, különben a tehetetlenségi nyomaték mátrixként (inercia-tenzorként) jelenik meg, és a kapcsolat L = I·ω (mátrix-szorozat) formájú.
Egységek és irány
- SI-egység: kg·m²/s.
- Az irányt a jobbkéz-szabály adja meg: a forgásvektor (és így L) iránya a körülfordítással összhangban van a hüvelykujj iránya.
Kapcsolat a forgatónyomatékkal és a megmaradás törvénye
A forgatónyomaték (moment of torque) τ és a szögnyomaték közti kapcsolat analóg a lineáris mozgásnál a F = dp/dt összefüggéssel:
τ = dL/dt.
Ha a testre ható eredő forgatónyomaték nulla, akkor dL/dt = 0, azaz a szögnyomaték megmarad. Ezt használják ki például az asztrofizikában és a sportokban (korcsolyázó szerei, ahol a karok behúzásával nő az ω, miközben L állandó marad).
Spin és keringési (orbitális) forgatónyomaték
- Spin-forgatónyomaték: a test saját tengelye körüli forgásából eredő forgatónyomaték (klasszikus értelemben ez a test belső forgása a saját tömegeloszlása miatt).
- Keringési (orbitális) forgatónyomaték: akkor beszélünk róla, amikor egy test egy másik test körül kering; ez az eredő pontra vonatkozó r × p mennyiség.
Megjegyzés: a kvantummechanikában a "spin" fogalma intrinszik, azaz nem azonos a klasszikus forgással, de az analógia segít megérteni néhány viselkedést.
Gyakorlati példák
- Ponton tömeg m a r sugarú körpályán: I = m r² → L = m r² ω.
- Karikás gyűrű (héj) tömege M és sugara R: I = M R² → L = M R² ω.
- Homogén körlemez (tárcsa) tömege M és sugara R: I = (1/2) M R² → L = (1/2) M R² ω.
- Homogén gömb tömege M és sugara R: I = (2/5) M R² → L = (2/5) M R² ω.
Numerikus példa
Vegyünk egy karikát (héj) M = 2,00 kg, R = 0,10 m, amely ω = 10,0 rad/s szögsebességgel forog. Ekkor
I = M R² = 2,00 · (0,10)² = 2,00 · 0,01 = 0,020 kg·m²,
L = I ω = 0,020 · 10,0 = 0,20 kg·m²/s.
Miért fontos?
A szögnyomaték gyakorlati jelentősége nagy: giroszkópok stabilizálásnál, járművek és repülőgépek irányításánál, bolygómozgások és naprendszerek vizsgálatánál, valamint az ipari gépek tervezésénél alapvető mennyiség. A helyes tehetetlenségi nyomaték és szögnyomaték számítás elengedhetetlen a dinamikai viselkedés előrejelzéséhez.
A korcsolyázó szögimpulzusa megmarad - mivel behúzza a karjait és a lábait -, tehetetlenségi nyomatéka csökken, de szögsebessége ennek ellensúlyozására megnő.
Spin forgatónyomaték
A forgási szögnyomaték a tárgyak egyfajta szögnyomatéka, amelyek egy olyan tengely körül forognak, amely keresztülmegy a tárgyon, mint például egy csúcs, amely a középpontja körül forog.
A forgástengelytől nagyon távol eső tárgyakat nagyon nehéz elkezdeni pörögni, de ha egyszer beindultak, akkor nehéz megállítani őket. Azt mondjuk, hogy nagy tehetetlenségi nyomatékkal rendelkezik. Hasonlóképpen, egy lassan forgó tárgyat (kis szögsebességgel) könnyebb elindítani, mint gyorsan pörögni (nagy szögsebességgel). Ezért a forgási szögnyomaték függ mind attól, hogy a tárgy mennyire terjedt el (tehetetlenségi nyomaték), mind attól, hogy milyen gyorsan forog (szögsebesség).
Orbitális szögnyomaték
A másik fajta forgatónyomaték a keringési forgatónyomaték. Ez az a fajta forgatónyomaték, amellyel a Nap körül keringő bolygók rendelkeznek, de a tengelyük körül forgó csúcsok nem.
A keringési szögnyomatékot akkor használjuk, amikor egy olyan objektumról (például egy bolygóról) beszélünk, amely egy olyan tengely körül kering, amely nem mozog (például a Nap). Ez azt jelenti, hogy a mozgásának egy része olyan irányban történik, amely sem a tengely felé, sem a tengelytől távolodik; legalábbis a mozgásának egy része a tengely körül halad. A keringési nyomaték azt is méri, hogy mennyire nehéz lenne megállítani az objektumot abban, hogy továbbra is a tengely körül keringjen.
A szögnyomaték egy megőrzött mennyiség - egy tárgy szögnyomatéka állandó marad, hacsak nem hat rá külső nyomaték.
Kapcsolódó oldalak
- Momentum
- Rotációs mozgási energia
Kérdések és válaszok
K: Mi az a szögimpulzus?
V: A szögnyomaték, más néven forgási nyomaték, egy tárgy tehetetlenségi nyomatékának és szögsebességének szorzata.
K: Hogyan számítják ki a szögnyomatékot?
V: A szögnyomatékot egy tárgy tehetetlenségi nyomatékának és szögsebességének szorzataként számítják ki. Ez matematikailag a következőképpen fejezhető ki: L = Iù, ahol I a tehetetlenségi nyomaték (a szöggyorsulással vagy -lassulással szembeni ellenállás) és ù a szögsebesség.
K: Milyen háromféle szögimpulzus létezik?
V: A háromféle forgatónyomaték a rezgési, a spin- és a keringési nyomaték.
Keres