Egy tengely körül forgó tárgy szögnyomatéka vagy forgási nyomatéka (L) a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata:
L = I ω {\displaystyle L=I\omega } 
ahol
I {\displaystyle I}
a tehetetlenségi nyomaték (a szöggyorsulással vagy lassulással szembeni ellenállás, amely egyenlő a tömeg és a forgástengelytől való merőleges távolság négyzetének szorzatával);
ω {\displaystyle \omega \ }
a szögsebesség.
Kétféle forgatónyomaték létezik: a spin-forgatónyomaték és a keringési forgatónyomaték.
Részletesebb magyarázat
Szögnyomaték (vektorformában): általános esetben a forgási mennyiség vektoros alakja
L = Σ ri × pi,
ahol ri a i-edik tömegpont helyvektora a választott eredőhöz képest, pi pedig a lendülete (p = m v). Folytonos test esetén ez az integrál:
L = ∫ r × v dm.
Ha egy merev test egy főtehetetlenségi tengelye körül forog, akkor a vektoros reláció egyszerűsödhet a skaláris alakra L = I ω, különben a tehetetlenségi nyomaték mátrixként (inercia-tenzorként) jelenik meg, és a kapcsolat L = I·ω (mátrix-szorozat) formájú.
Egységek és irány
- SI-egység: kg·m²/s.
- Az irányt a jobbkéz-szabály adja meg: a forgásvektor (és így L) iránya a körülfordítással összhangban van a hüvelykujj iránya.
Kapcsolat a forgatónyomatékkal és a megmaradás törvénye
A forgatónyomaték (moment of torque) τ és a szögnyomaték közti kapcsolat analóg a lineáris mozgásnál a F = dp/dt összefüggéssel:
τ = dL/dt.
Ha a testre ható eredő forgatónyomaték nulla, akkor dL/dt = 0, azaz a szögnyomaték megmarad. Ezt használják ki például az asztrofizikában és a sportokban (korcsolyázó szerei, ahol a karok behúzásával nő az ω, miközben L állandó marad).
Spin és keringési (orbitális) forgatónyomaték
- Spin-forgatónyomaték: a test saját tengelye körüli forgásából eredő forgatónyomaték (klasszikus értelemben ez a test belső forgása a saját tömegeloszlása miatt).
- Keringési (orbitális) forgatónyomaték: akkor beszélünk róla, amikor egy test egy másik test körül kering; ez az eredő pontra vonatkozó r × p mennyiség.
Megjegyzés: a kvantummechanikában a "spin" fogalma intrinszik, azaz nem azonos a klasszikus forgással, de az analógia segít megérteni néhány viselkedést.
Gyakorlati példák
- Ponton tömeg m a r sugarú körpályán: I = m r² → L = m r² ω.
- Karikás gyűrű (héj) tömege M és sugara R: I = M R² → L = M R² ω.
- Homogén körlemez (tárcsa) tömege M és sugara R: I = (1/2) M R² → L = (1/2) M R² ω.
- Homogén gömb tömege M és sugara R: I = (2/5) M R² → L = (2/5) M R² ω.
Numerikus példa
Vegyünk egy karikát (héj) M = 2,00 kg, R = 0,10 m, amely ω = 10,0 rad/s szögsebességgel forog. Ekkor
I = M R² = 2,00 · (0,10)² = 2,00 · 0,01 = 0,020 kg·m²,
L = I ω = 0,020 · 10,0 = 0,20 kg·m²/s.
Miért fontos?
A szögnyomaték gyakorlati jelentősége nagy: giroszkópok stabilizálásnál, járművek és repülőgépek irányításánál, bolygómozgások és naprendszerek vizsgálatánál, valamint az ipari gépek tervezésénél alapvető mennyiség. A helyes tehetetlenségi nyomaték és szögnyomaték számítás elengedhetetlen a dinamikai viselkedés előrejelzéséhez.
