Gamma-függvény
A matematikában a gamma-függvény (Γ(z)) a faktoriális függvény kiterjesztése a negatív egész számok kivételével minden komplex számra. Pozitív egész számok esetén a következőképpen definiálható: Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
A gamma függvény minden komplex számra definiált. De nem definiált a negatív egész számokra és a nullára. Egy olyan komplex számra, amelynek valós része nem negatív egész szám, a függvényt a következőképpen definiáljuk:
A gamma-függvény a valós tengely egy része mentén
Tulajdonságok
Különleges értékek
A gamma-függvény néhány különleges értéke:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.3293934038818\\\\\\\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.3233335097045\\\\\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\\\end{array}}}} 
Pi funkció
Gauss bevezette a Pi függvényt. Ez egy másik módja a gamma-függvény jelölésének. A gamma-függvényre vonatkoztatva a Pi függvény a következő
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}{t},} 
hogy
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
minden nemnegatív egész számra.
Alkalmazások
Analitikus számelmélet
A gamma-függvényt a Riemann-féle zéta-függvény tanulmányozására használják. A Riemann-zéta függvény egyik tulajdonsága a funkcionálegyenlete:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann kapcsolatot talált e két függvény között. Ez az 1859-es "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Egy adott mennyiségnél kisebb prímszámok számáról") című dolgozatában történt.
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } 
Kérdések és válaszok
K: Mi a gammafüggvény a matematikában?
V: A gamma-függvény a matematika speciális függvényeinek egyik kulcstémája.
K: Mi a faktoriális függvény kiterjesztése a negatív egész számok kivételével minden komplex számra?
V: A gammafüggvény a faktoriális függvény kiterjesztése a negatív egész számok kivételével minden komplex számra.
K: Hogyan definiálható a gammafüggvény pozitív egész számok esetén?
V: Pozitív egész számok esetén a gammafüggvényt a következőképpen definiáljuk: Γ(n) = (n-1)!.
K: A gammafüggvény minden komplex számra definiált?
V: Igen, a gammafüggvény minden komplex számra definiált.
K: A gammafüggvény definiált a negatív egész számokra és a nullára?
V: Nem, a gammafüggvény nem definiált a negatív egész számokra és a nullára.
K: Hogyan definiálható a gammafüggvény olyan komplex számra, amelynek valós része nem negatív egész szám?
V: A gamma-függvényt olyan komplex számra, amelynek valós része nem negatív egész szám, egy speciális, a szövegben nem megadott képlettel definiáljuk.
K: Miért fontos a gammafüggvény a matematikában?
V: A gamma-függvény azért fontos a matematikában, mert a speciális függvények területén kulcsfontosságú téma, és a faktoriális függvényt kiterjeszti a negatív egész számok kivételével minden komplex számra.
