Fraktál

Példák

A fraktáloknak sokféle típusa létezik, és nagyon sokféleképpen készülnek. Ilyen például a Sierpinski-háromszög, ahol a nagy háromszög belsejében végtelen számú kis háromszög van. Egy másik példa a Mandelbrot-halmaz, amely Benoît Mandelbrot-ról kapta a nevét. A Sierpinksi-háromszög mintázatok segítségével épül fel, a Mandelbrot-halmaz viszont egy egyenleten alapul.

A természetben is számos természetes példát találunk a fraktálokra, beleértve a fákat, hópelyheket, néhány zöldséget és a partvonalakat.

A Koch-görbe

A Koch-görbe a fraktál egyszerű példája. Először is, kezdjük egy egyenes vonal egy részével - amit egyenes vonalszakasznak nevezünk. Vágjuk az egyenest 3 azonos méretű darabra. Szabadulj meg e darabok közepétől, és tedd be egy olyan háromszög felső részét, amelynek oldalai ugyanolyan hosszúak, mint a kivágandó darab. Most már 4 olyan egyenes szegmensünk van, amelyek a végeiknél összeérnek. Most már mind a 4 darabon megtehetjük azt, amit az imént az első szegmenssel tettünk. Most ugyanezt újra és újra megtehetjük az összes darabkával, amivel a végén rendelkezünk. Most ezt örökké csináljuk, és nézzük meg, hogy mi lesz a végeredmény.

A Koch-görbe hossza végtelen, a Koch-görbe területe pedig nulla. Ez elég furcsa. Egy (1 dimenziójú) vonalszakasz hossza lehet 1, de területe 0. Egy 1 hosszúságú és 1 szélességű (2 dimenziójú) négyzet területe 1, hossza pedig végtelen.

Hasonlósági dimenzió

Tehát a Koch-görbe nagyobbnak tűnik, mint valami 1 dimenziós, és kisebbnek, mint valami 2 dimenziós. A hasonlósági dimenzió lényege, hogy olyan dimenziót adjon, amely a fraktálok esetében jobb képet ad a hosszról vagy a területről. Tehát egy Koch-görbe esetében 1 és 2 közötti dimenziót szeretnénk.

A Koch-görbe négy darabra vágható, amelyek mindegyike az eredeti méretének 1 3 {\displaystyle {\frac {\frac {1}{3}}} része. A fraktál N {\displaystyle N} darabokra vágható darabjainak számát, a méretkülönbséget pedig B {\displaystyle B} -nek nevezzük. Ezeket beillesztjük az egyenletbe:

log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}}

Ahol log {\displaystyle \log } egy szám logaritmusa. Ez a szám a fraktál Hausdorff-dimenziója. A Koch-görbén ez log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {1}{3}}}}=1.2619... } ahogyan szerettük volna.

A Koch-görbe az egyik legegyszerűbb fraktál alakzat, így a dimenziója könnyen kiszámítható. A hasonlósági dimenziója és a Hausdorff-dimenziója megegyezik. Ez nem igaz a bonyolultabb fraktálokra.

Koch hópehely

A Koch-hópehely (vagy Koch-csillag) ugyanaz, mint a Koch-görbe, kivéve, hogy egy egyenes szakasz helyett egy egyenlő oldalú háromszöggel kezdődik.

Hogyan készítsük el a Koch-görbét

Használja a

A fraktáloknak számos alkalmazási területe van, például a biológiában (tüdő, vesék, szívritmus-változás stb...), a földrengésekben, a pénzügyekben, ahol az úgynevezett nehézfarkú eloszlásokhoz kapcsolódik, és a fizikában. Ez azt jelzi, hogy a fraktálokat tanulmányozni kell, hogy megértsük, miért olyan gyakoriak a fraktálok a természetben.

Egyes fraktálok csak művészi okokból léteznek, mások viszont nagyon hasznosak. A fraktálok nagyon hatékony formák a rádióantennákhoz, és a számítógépes chipekben is használják őket, hogy hatékonyan összekapcsolják az összes alkatrészt. A partvonalakat is fraktálként lehet elképzelni.