Eugenio Beltrami — a hiperbolikus geometria úttörője (1835–1900)
Eugenio Beltrami (1835–1900) — a hiperbolikus géometria úttörője: Beltrami modellje, élete és hozzájárulása a nem-euklideszi geometria megértéséhez.
Eugenio Beltrami (1835. november 16. - 1900. február 18.) olasz matematikus volt, aki a nem-euklideszi geometriával, az elektromossággal és a mágnesességgel kapcsolatos munkáiról vált nevezetessé.
A lombardiai Cremonában született, amely akkor az Osztrák Birodalom része volt, ma pedig Olaszországhoz tartozik. Beltrami először 1853-ban kezdett matematikát tanulni a paviai egyetemen, de 1856-ban anyagi nehézségek miatt kénytelen volt abbahagyni tanulmányait. A bolognai egyetem professzorává nevezték ki 1862-ben, abban az évben, amikor első tanulmányát publikálta. Beltrami később Pisa, Róma és Pavia egyetemein tanított. Rómában halt meg 1900-ban.
Beltrami 1868-ban (Esszé a nem-euklideszi geometria értelmezéséről című munkájában) adta meg a hiperbolikus geometria első modelljét. Beltrami modelljében a hiperbolikus geometria vonalait a pszeudoszférán lévő geodéziák ábrázolják. Így Beltrami szolgáltatta az első bizonyítékot arra, hogy az euklideszi párhuzamos posztulátum nem vezethető le az euklideszi geometria többi axiómájából.
Élete röviden
Beltrami életét és pályáját nehézségek is jellemezték: hallgatóként anyagi okok miatt megszakította tanulmányait, de később tudományos munkássága révén egyetemi állást nyert és rangos intézményekben tanított. Széles érdeklődése a tiszta matematikától a matematikai fizikáig terjedt; publikációi között találhatók elméleti dolgozatok és alkalmazott problémákkal foglalkozó munkák is.
Munkásság és jelentős hozzájárulások
Beltrami legfontosabb eredménye a nem-euklideszi geometria modellezése volt. A pszeudoszféra, amelyet ő használt, a tractrix forgásával keletkező felület, és állandó negatív görbületű felületként szolgál a hiperbolikus geometriához hasonló viselkedés bemutatására. Beltrami megmutatta, hogy a pszeudoszférán értelmezett geodéziák megfeleltethetők a hiperbolikus egyeneseknek, így a hiperbolikus geometria axiómarendszere egy – az euklideszi térben definiált – modellre vezethető vissza. Ez a konstrukció igazolta a hiperbolikus geometria relatív konzisztenciáját: ha az euklideszi geometria ellentmondásmentes, akkor a hiperbolikus geometria is az.
Fontos megjegyezni, hogy a pszeudoszféra-modellel csak a hiperbolikus sík részét lehetett ábrázolni: a felületnek véges területű szakaszai és természetes szingularitásai vannak, ezért nem terjed ki a teljes hiperbolikus síkra. Beltrami ezt követően másfajta, projektív jellegű modellötletekkel is foglalkozott, amelyek előfutárai a későbbi Beltrami–Klein és a Poincaré-modellnek. Ezek a továbbfejlesztett modellek tették lehetővé a hiperbolikus geometriának a teljes síkon való, egyszerűbb matematikai leírását.
Beltrami munkái a differenciálgeometriához és a felületek elméletéhez is hozzájárultak; foglalkozott továbbá a matematika és a fizika találkozásával, különösen az elektromosság és mágnesség elméleti kérdéseivel. Eredményei hatást gyakoroltak kortársaira és az azt követő generációkra, többek között olyan matematikusokra, mint Felix Klein és Henri Poincaré, akik továbbfejlesztették a nem-euklideszi geometriák elméletét és modellezését.
Hagyaték
Beltrami 1868-as munkája fordulatot hozott a geometria történetében: korábban a nem-euklideszi geometriák elméleti konstrukcióknak tűntek, Beltrami eredményeivel azonban világossá vált, hogy ezek belsőleg koherens rendszerek, amelyek az euklideszi geometria eszközeivel is leírhatók. Ennek következtében a 19. század végére és a 20. század elejére a matematikusok elfogadták a geometria többféle, egyenértékű axiómarendszerben való kialakíthatóságát.
Öröksége ma is él: munkái fontos részét képezik a geometria, a differenciálgeometria és a matematikai fizika történetének, és megmutatták, hogy a modellalkotás kulcsfontosságú eszköz az axiomatikus rendszerek megértésében.
Kérdések és válaszok
K: Ki volt Eugenio Beltrami?
V: Eugenio Beltrami olasz matematikus volt, aki a nem-euklideszi geometriával, az elektromossággal és a mágnesességgel kapcsolatos munkáiról ismert.
Q: Hol született Beltrami?
V: Beltrami a lombardiai Cremonában született, amely akkor az Osztrák Birodalom része volt, ma pedig Olaszországhoz tartozik.
K: Hol tanult Beltrami matematikát?
V: Beltrami 1853-ban kezdett matematikát tanulni a paviai egyetemen.
K: Miért kellett Beltraminak abbahagynia tanulmányait a paviai egyetemen?
V: Beltraminak 1856-ban anyagi nehézségek miatt kellett abbahagynia tanulmányait a Páviai Egyetemen.
K: Mikor nevezték ki Beltramit professzorrá?
V: Beltramit 1862-ben nevezték ki professzornak a bolognai egyetemre, abban az évben, amikor első tanulmányát publikálta.
K: Hol tanított még Beltrami?
V: Beltrami tanított a pisai, római és paviai egyetemeken is.
K: Mi Beltrami hiperbolikus geometria modellje?
V: Beltrami modelljében a hiperbolikus geometria vonalait a pszeudoszférán lévő geodéziák ábrázolják. Ez szolgáltatta az első bizonyítékot arra, hogy Euklidész párhuzamos posztulátuma nem vezethető le az euklideszi geometria többi axiómájából.
Keres