A geometriában a hiperkocka a négyzet (n = 2) és a kocka (n = 3) n dimenziós analógja. Ez egy zárt, kompakt, domború, reguláris poliedrális alakzat, amelynek élei minden dimenzióban páronként párhuzamosak és azonos hosszúságúak. Az egységnyi hiperkocka leghosszabb átlója n dimenzióban: a · √n (ha az élhossz a = 1, akkor √n). {\displaystyle {\sqrt {n}}}

Elnevezések

Az n-dimenziós hiperkockát gyakran n-kockának vagy n-dimenziós kockának nevezik. A "mértékpoliptóp" (measure polytope) kifejezés is előfordul régebbi irodalomban (például Coxeter munkáiban), de ez a megnevezés ma már kevésbé elterjedt. A hiperkocka a hiperháromszög (más néven n-orthotóp) egy speciális esete is.

Koordináták és egységhiperkocka

Az egységhiperkocka gyakran a következőként van definiálva a valós n-dimenziós térben Rn:

  • a) zárt kocka: [0,1]n — minden csúcsa az Rn 2n pontjai közül kerül ki, ahol minden koordináta 0 vagy 1;
  • b) középre rendezett változat: középpontja az origó, éleinek hossza a, akkor a csúcsok koordinátái (±a/2, ±a/2, …, ±a/2) kombinációi.

Alapvető számszerű tulajdonságok és képletek

  • Csúcsok száma (0-dim. elemek): 2n.
  • Élek száma (1-dim. elemek): n·2n-1.
  • Általános k-dimenziós elemek száma: C(n,k)·2n−k, ahol C(n,k) a binomiális együttható. (Ezzel levezethetők a fenti speciális esetek.)
  • n-dimenziós térfogat (hipervolumen) élhossz a esetén: V = an. (Az egységhiperkocka térfogata 1.)
  • Hyperfelület (n−1 dimenziós összfelület) élhossz a esetén: S = 2 n an−1, mivel 2n db (n−1)-dimenziós lap van, mindegyiknek területe an−1.
  • Legnagyobb távolság (átló) csúcspontok között, élhossz a esetén: a·√n. (Egységhiperkockánál √n.)
  • Beírt és körírt sugár (élhossz a, középpontban): inradius r = a/2; circumradius R = (a/2)·√n.

Példák kis n értékekre

  • n = 2: négyzet — 4 csúcs, 4 él, 1 belső terület (2D térfogat).
  • n = 3: kocka — 8 csúcs, 12 él, 6 négyzet lap.
  • n = 4: tesseract (4-kocka) — 16 csúcs, 32 él, 24 négyzet (2D) lap, 8 kocka (3D) sejtek. (A betűk szerint alkalmazható a fenti általános képlet.)

Szimetriák és kapcsolódó fogalmak

  • A hiperkocka reguláris poliéder; Schläfli-szimbóluma {4,3,…,3} (n−2 darab 3-as után).
  • Szimetriacsoportja az ún. hyperoctahedral csoport, rendje 2n·n! (permutációk és koordináták előjeleinek cseréje).
  • A hiperkocka duálisa az orthoplex (más néven cross-polytope, hipericorszak).
  • Csúcsainak gráfja az n-dimenziós hiperkocka gráf (Qn): n-reguláris, bipartit, átmérője n, fontos szerepet játszik kombinatorikában és hálózatelméletben.

Alkalmazások és megjelenések

  • Diszkrét matematika és kombinatorika: a hiperkocka csúcsai megfelelnek az n-bites bináris sorozatoknak (Bool-alfabetikus struktúra).
  • Kódelmélet: Hamming-tér és hibajavító kódok vizsgálata gyakran a hiperkocka gráfon történik.
  • Optimalizáció és numerikus módszerek: n-dimenziós rácsok, keresési terek és paraméterlehetőségek szemléltetése.
  • Geometria és topológia: a hiperkocka határrétege Sn−1-hez hasonlóan viselkedik, és sok elméleti vizsgálat tárgya (pl. poliedrális Euler-típusok, felületi integrálok).
  • Vizualizáció: a tesseract (n = 4) a legismertebb „magasabb dimenziós” példák egyike, amelyet vetületekkel és vetítéses ábrázolásokkal szoktak szemléltetni.

Megjegyzések

A hiperkocka egyszerű, de gazdag matematikai tárgy: kapcsolódik gráfelmélethez, kombinatorikához, algebrai struktúrákhoz és számos alkalmazott területhez. A fenti általános képletek lehetővé teszik egy adott dimenzióra a különböző elemek gyors kiszámítását és összehasonlítását.