Konstans függvény: definíció, példák és tulajdonságok

Formálisan egy konstans f(x):R→R függvény f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} formájú. Általában y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} vagy egyszerűen y = c {\displaystyle y=c} írjuk.

• Az y=c függvénynek 2 változója van: x és у, valamint 1 konstans c. (A függvénynek ebben a formájában nem látjuk x-et, de az ott van.)

• A c konstans egy valós szám. Mielőtt egy lineáris függvénnyel dolgoznánk, c-t egy valós számmal helyettesítjük.
• Az y=c tartománya vagy bemenete R. Tehát bármely valós x szám bemenete lehet. A kimenet azonban mindig a c érték.
• Az y=c tartománya szintén R. Mivel azonban a kimenet mindig c értéke, a kodomain csak c.

Példa: Az y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} vagy egyszerűen y = 4 {\displaystyle y=4} az a konkrét konstans függvény, ahol a kimeneti érték c = 4 {\displaystyle c=4} . A tartomány az összes valós szám ℝ. A kodomain csak {4}. Nevezetesen: y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,..... Mindegy, hogy x milyen értéket adunk meg, a kimenet "4" lesz.

• Az y = c állandó függvény grafikonja {\displaystyle y=c} egy vízszintes egyenes a síkban, amely áthalad a ( 0 , c ) ponton {\displaystyle (0,c)} .
• Ha c≠0, akkor az y=c konstans függvény egy nulla fokú, egyváltozós x polinom.

• A függvény y metszéspontja a (0,c) pont.
• Ennek a függvénynek nincs x-interceptusa. Vagyis nincs gyökere vagy nullája. Soha nem keresztezi az x-tengelyt.

• Ha c=0, akkor y=0. Ez a zérus polinom vagy az identikusan nulla függvény. Minden valós x számnak van gyöke. Az y=0 grafikonja az x-tengely a síkban.
• Az állandó függvény páros függvény, így az y-tengely minden állandó függvény szimmetriatengelye.

Abban az összefüggésben, ahol definiálták, egy függvény deriváltja a függvény (kimeneti) értékek változásának mértékét méri a bemeneti értékek változásához képest. Egy konstans függvény nem változik, így deriváltja 0. Ezt gyakran írják:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Példa: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}} egy konstans függvény. Az y deriváltja az y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

A fordítottja (ellenkezője) is igaz. Azaz, ha egy függvény deriváltja mindenhol nulla, akkor a függvény konstans függvény.

Matematikailag ezt a két állítást írjuk le:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\,\forall x\ in \mathbb {R} }

Egy f : A → B függvény konstans függvény, ha f(a) = f(b) minden a és b esetén A-ban.

Valós példa: Egy bolt, ahol minden árucikket 1 euróért árulnak. A függvény tartománya a boltban lévő tételek. A társtartomány 1 euró.

Példa: Legyen f : A → B, ahol A={X,Y,Z,W} és B={1,2,3} és f(a)=3 minden a∈A esetén. Ekkor f egy konstans függvény.

Példa: z(x,y)=2 az A=ℝ² és B=ℝ közötti konstans függvény, ahol minden (x,y)∈ℝ² pont a z=2 értékre van leképezve. Ennek az állandó függvénynek a grafikonja a 3 dimenziós térben az a vízszintes (az x0y síkkal párhuzamos) sík, amely a (0,0,2) ponton halad át.

Példa: A ρ(φ)=2,5 poláris függvény az az állandó függvény, amely minden φ szöget ρ=2,5 sugárra vetít. Ennek a függvénynek a grafikonja a 2,5 sugarú kör a síkban.

Az állandó függvényeknek más tulajdonságai is vannak. Lásd Constant function az angol Wikipédián

• Funkció
• Polinomiális