Konstans függvény

A matematikában a konstans függvény olyan függvény, amelynek kimeneti értéke minden bemeneti értékre azonos. Például az y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} $y(x)=4$ függvény konstans függvény, mert az y ( x ) {\displaystyle y(x)} értéke $y(x)$ 4, függetlenül az x {\displaystyle x} bemeneti értéktől (lásd a képet).

Állandó függvény y=4

Alapvető tulajdonságok

Formálisan egy konstans f(x):R→R függvény f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} $f(x)=c$ formájú. Általában y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} $y(x)=c$ vagy egyszerűen y = c {\displaystyle y=c} $y=c$ írjuk.

Az y=c függvénynek 2 változója van: x és у, valamint 1 konstans c. (A függvénynek ebben a formájában nem látjuk x-et, de az ott van.)

A c konstans egy valós szám. Mielőtt egy lineáris függvénnyel dolgoznánk, c-t egy valós számmal helyettesítjük.
Az y=c tartománya vagy bemenete R. Tehát bármely valós x szám bemenete lehet. A kimenet azonban mindig a c érték.
Az y=c tartománya szintén R. Mivel azonban a kimenet mindig c értéke, a kodomain csak c.

Példa: Az y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} $y(x)=4$ vagy egyszerűen y = 4 {\displaystyle y=4} az $y=4$ a konkrét konstans függvény, ahol a kimeneti érték c = 4 {\displaystyle c=4} $c=4$ . A tartomány az összes valós szám ℝ. A kodomain csak {4}. Nevezetesen: y(0)=4, y(-2.7)=4, y(π)=4,..... Mindegy, hogy x milyen értéket adunk meg, a kimenet "4" lesz.

Az y = c állandó függvény grafikonja {\displaystyle y=c} $y=c$ egy vízszintes egyenes a síkban, amely áthalad a ( 0 , c ) ponton {\displaystyle (0,c)} $(0,c)$ .
Ha c≠0, akkor az y=c konstans függvény egy nulla fokú, egyváltozós x polinom.

A függvény y metszéspontja a (0,c) pont.
Ennek a függvénynek nincs x-interceptusa. Vagyis nincs gyökere vagy nullája. Soha nem keresztezi az x-tengelyt.

Ha c=0, akkor y=0. Ez a zérus polinom vagy az identikusan nulla függvény. Minden valós x számnak van gyöke. Az y=0 grafikonja az x-tengely a síkban.
Az állandó függvény páros függvény, így az y-tengely minden állandó függvény szimmetriatengelye.

Egy konstans függvény deriváltja

Abban az összefüggésben, ahol definiálták, egy függvény deriváltja a függvény (kimeneti) értékek változásának mértékét méri a bemeneti értékek változásához képest. Egy konstans függvény nem változik, így deriváltja 0. Ezt gyakran írják: ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} $(c)'=0$

Példa: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}} $y(x)=-{\sqrt {2}}$ egy konstans függvény. Az y deriváltja az y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} $y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0$

A fordítottja (ellenkezője) is igaz. Azaz, ha egy függvény deriváltja mindenhol nulla, akkor a függvény konstans függvény.

Matematikailag ezt a két állítást írjuk le:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\,\forall x\ in \mathbb {R} } $y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\forall x\in \mathbb {R}$

Generalizáció

Egy f : A → B függvény konstans függvény, ha f(a) = f(b) minden a és b esetén A-ban.

Példák

Valós példa: Egy bolt, ahol minden árucikket 1 euróért árulnak. A függvény tartománya a boltban lévő tételek. A társtartomány 1 euró.

Példa: Legyen f : A → B, ahol A={X,Y,Z,W} és B={1,2,3} és f(a)=3 minden a∈A esetén. Ekkor f egy konstans függvény.

Példa: z(x,y)=2 az A=ℝ² és B=ℝ közötti konstans függvény, ahol minden (x,y)∈ℝ² pont a z=2 értékre van leképezve. Ennek az állandó függvénynek a grafikonja a 3 dimenziós térben az a vízszintes (az x0y síkkal párhuzamos) sík, amely a (0,0,2) ponton halad át.

Példa: A ρ(φ)=2,5 poláris függvény az az állandó függvény, amely minden φ szöget ρ=2,5 sugárra vetít. Ennek a függvénynek a grafikonja a 2,5 sugarú kör a síkban.

Általánosított konstans függvény.

Állandó függvény z(x,y)=2

Állandó poláris függvény ρ(φ)=2,5

Egyéb tulajdonságok

Az állandó függvényeknek más tulajdonságai is vannak. Lásd Constant function az angol Wikipédián

Kapcsolódó oldalak

Kérdések és válaszok

K: Mi az a konstans funkció?

V: Az állandó függvény olyan függvény, amelynek kimeneti értéke minden bemeneti értékre ugyanaz marad.

K: Tudna példát mondani egy konstans függvényre?

V: Igen, egy konstans függvényre példa az y(x) = 4, ahol az y(x) értéke mindig 4, függetlenül az x bemeneti értéktől.

K: Honnan tudod megállapítani, hogy egy függvény konstans függvény-e?

V: Azt, hogy egy függvény konstans függvény-e, onnan tudod megállapítani, hogy a kimeneti értéke minden bemeneti érték esetén ugyanaz marad-e.

K: Mit jelent, amikor azt mondjuk az állandó függvényekkel kapcsolatban, hogy "y(x)=4"?

V: Amikor azt mondjuk, hogy "y(x)=4", az azt jelenti, hogy az y(x) kimeneti értéke mindig 4 lesz, függetlenül attól, hogy az x bemeneti érték milyen lehet.

K: Lehet valahogyan szemléltetni, hogyan néz ki egy konstans függvény?

V: Igen, az egyik módja annak, hogy szemléltessük, hogyan néz ki egy konstans függvény, egy kép vagy grafikon.

K: Változik-e a kimenet a bemenettől függően az állandó függvényeknél?

V: Nem, a konstans függvényekben a kimenet nem változik a bemenettől függően.