Konjugált változók a kvantummechanikában — definíció és példák
Konjugált változók a kvantummechanikában — definíció, Heisenberg–Born reláció, képletek és szemléletes példák a pozíció és impulzus nemkommutativitásáról.
Konjugált változók alatt a kvantummechanikában általában olyan párokat értünk, amelyek egymással nem kommutálnak — azaz az egyik operátor szorzata a másikkal nem azonos a fordított sorrendű szorzattal. Matematikailag ez azt jelenti, hogy A*B ≠ B*A az operátorszorzat értelmében. (A cikkben használt * jel az operátorszorzatot jelöli, nem a szokásos skaláris szorzást.)
Történeti háttér
Werner Heisenberg és munkatársai a klasszikus fizikában tanult egyenleteket alakították át úgy, hogy azok a kvantumjelenségeket írják le. Ebben a korai mátrixmechanikában a fizikai mennyiségeket mátrixokkal reprezentálták, és Heisenberg felismerte, hogy a pozíció (Q) és a lendület/impulzus (P) reprezentációi nem kommutálnak egymással — vagyis P*Q ≠ Q*P. Később Max Born és mások megfogalmazták ezt pontosabban mátrixnyelven, ami a kvantummechanika egyik alapvető algebrai szabályává vált.
Mátrixos példa (Heisenberg–Born megközelítés)
Heisenberg korai mátrixformulációjában az operátorok elemei állapotindexek szerint voltak rendezve. A következő egyenletek azt mutatják, hogyan néz ki két mátrix (például p és q) szorzatának elemeire vonatkozó összegzés:
Az első egyenletet a lendület és a helyzet szorzatának kiszámítására lehet használni:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
A második egyenletet a pozíció és a lendület szorzatának kiszámítására lehet használni:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Ezekből a mátrixösszegzésekből jól látható, hogy általánosan Y ≠ Z, tehát a két operátor sorrendje számít.
A kanonikus kommutációs reláció
Born felismerte és megfogalmazta, hogy a pozíció és a lendület kommutátora nem nulla. A korabeli alakban:
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}} 
Gyakrabban ma a Planck-állandó bevezetésével írjuk (ħ = h / 2π):
[Q, P] = QP − PQ = iħ I,
ahol I az egységoperátor. Itt az i az imaginárius egység, a h a Planck-állandó, és ħ (ejtsd „h-bar”) = h/(2π).
A Q és P operátorok önadjungált (Hermitikus) operátorok a mérhető fizikai mennyiségek reprezentációjában; ennek ellenére kommutátora az iħ-szorosa az egységoperátornak, ami fontos következményekkel jár.
Következmények: a bizonytalansági reláció
A kommutációs reláció közvetlenül vezet a Heisenberg-féle bizonytalansági relációhoz. A legegyszerűbb formában:
ΔQ · ΔP ≥ ħ / 2
Általánosabban, tetszőleges két Hermitikus operátorra A és B a Robertson–Schrödinger egyenlőtlenség érvényes:
ΔA · ΔB ≥ (1/2) |⟨[A, B]⟩|,
Példák konjugált (kanonikus) változókra
- Pozíció és impulzus (x és p): a legismertebb példa. Pozíció-bázisban az impulzusoperátor differenciáloperátorként írható: P = −iħ ∂/∂x, és ezt alkalmazva a kommutátorra kapjuk [x, P] = iħ.
- Energia és idő: gyakran említik őket konjugált párként; itt azonban óvatosnak kell lenni: az idő nem minden megfogalmazásban operátor a hagyományos kvantummechanikában, ezért az energia-idő „bizonytalanság” más értelmezést követel (szabályozott bontási idők, energetikai sávszélesség stb.).
- Szög és forgási impulzus: periodikus koordináták esetén a kanonikus kapcsolat némileg összetettebb, de az állandó forgás és az azt kifejező impulzus összefüggnek.
- Fázis és részecskeszám (mezőkvantálásban): ezek is kvantumkémiai és kvantumoptikai kontextusban előforduló konjugált mennyiségek.
Matematikai megjegyzések és reprezentációk
A kvantummechanikában a fizikai mennyiségek operátorok, amelyek egy Hilbert-térben működnek. Különböző reprezentációk léteznek (pl. pozíció-, impulzus- vagy energiabázis), és az operátorok alakja reprezentációfüggő. A klasszikus kanonikus párok (q, p) Poisson-bracketje a kvantummechanikában a kommutátor megfelelőjévé alakul (szimbolikusan: {q, p} → [Q, P]/(iħ)). Ezt a folyamatot nevezik kvantálásnak.
Alkalmazások
A konjugált változók fogalma és a kommutációs relációk a kvantummechanika központi eszközei, fontosak a spektroszkópiában, kvantumkémiai számításokban, kvantumoptikában, részecskefizikában és sok más területen. A bizonytalansági reláció gyakorlati következményei például a mérések felső határainak, az állapotlokalizációnak és az alapállapot energiájának nemzérus voltának megértésében jelennek meg.
A konjugált változókat a fizikában, a kémiában és a tudomány számos más területén is alkalmazzák, ahol kvantumhatások fontosak.
Néhány kapcsolódó téma
Kérdések és válaszok
K: Mik azok a konjugált változók?
V: A konjugált változók olyan speciális változópárok (például x, y, z), amelyek nem ugyanazt az eredményt adják, ha egy bizonyos matematikai műveletet végzel velük. Ez azt jelenti, hogy x*y nem egyenlő y*x-szel.
K: Ki fedezte fel a konjugált változókat?
V: Werner Heisenberg fizikus és munkatársai a klasszikus fizikában tanult egyenleteket használták a kvantumfizika eseményeinek leírására és előrejelzésére. Felfedezte, hogy a lendület (a tömeg szorozva a sebességgel, amit P jelképez) és a pozíció (amit Q jelképez) konjugált változók.
K: Milyen egyenlet segítségével lehet kiszámítani az impulzus és a pozíció szorzatát?
V: Az első egyenletet használhatjuk a lendület és a pozíció szorzatának kiszámítására: Y(n,n-b)=∑a p(n,n-a)q(n-a,n-b).
K: Milyen egyenlet segítségével lehet kiszámítani a pozíció és a lendület szorzatát?
V: A második egyenletet használhatjuk a pozíció és a lendület szorzatának kiszámítására: Z(n,n-b)=∑a q(n,n-a)p(n-a, n-b).
K: Mit fedezett fel Max Born a konjugált változókról?
V: Max Born rájött, hogy mivel P*Q nem egyenlő Q*P-vel, a Q*P mínusz P*Q eredője nem nulla. Arra is rájött, hogy Q-P - P-Q = ih/2π.
K: Hogyan jelenik meg a Planck-állandó a kvantummechanikában?
V: A Planck-állandó sokszor felbukkan a kvantummechanikában, mivel Max Born konjugált változótermékek kiszámítására szolgáló egyenletében szerepel; konkrétan h/2π-ként az egyenlőségjel egyik oldalán.
K: Milyen területeken alkalmazhatók a konjugált változók?
V: A konjugált változókat a fizika, a kémia és a tudomány más területein is alkalmazzák.
Keres