Valószínűségi tér — definíció, Kolmogorov-axiómák és fő elemei

Valószínűségi tér: áttekintés, definíció, Kolmogorov-axiómák és fő elemek (mintatér, σ-algebra, valószínűségi mérték) világos magyarázattal és példákkal.

A valószínűségi tér a tudományos kísérletek leírására használt matematikai modell A valószínűségi tér három részből áll:

1. Egy mintatér, amely az összes lehetséges eredményt felsorolja
2. Események sorozata. Minden eseményhez nulla vagy több kimenetel társul
3. Egy függvény, amely valószínűségeket rendel az egyes eseményekhez.

Az eredmény a modell egyetlen végrehajtásának eredménye. Mivel az egyes kimeneteknek kevés gyakorlati haszna lehet, a kimenetek csoportjainak jellemzésére összetettebb eseményeket használunk. Az összes ilyen esemény gyűjteménye egy σ-algebra F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}} . Végül meg kell adni az egyes események bekövetkezési valószínűségét. Ezt a P valószínűségi mértékfüggvény segítségével tehetjük meg.

Miután a valószínűségi tér kialakult, feltételezzük, hogy a "természet" megteszi a lépését, és kiválaszt egyetlen kimenetet, ω-t, az Ω mintatérből. Az F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}} összes olyan eseményét, amely tartalmazza a kiválasztott ω kimenetet (emlékezzünk arra, hogy minden esemény az Ω részhalmaza), "bekövetkezettnek" mondjuk. A természet által végzett szelekció úgy történik, hogy ha a kísérletet végtelen sokszor megismételnénk, akkor az egyes események relatív előfordulási gyakorisága egybeesne a P függvény által előírt valószínűségekkel.

Andrej Kolmogorov szovjet matematikus az 1930-as években vezette be a valószínűségi tér fogalmát, a valószínűségszámítás más axiómáival együtt.

Formális definíció

Egy valószínűségi tér formálisan a (Ω, F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}, P) hármas, ahol:

• Ω (mintatér) az összes lehetséges kimenetel halmaza;
• F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}} egy σ-algebra Ω felett: ez az események gyűjteménye, amely zárt a komplementer és a megszámlálható uniók műveleteire (így pl. a megszámlálható metszetekre is);
• P egy valószínűségi mérték: P : F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}} → [0,1], amely minden eseményhez hozzárendeli annak valószínűségét.

Kolmogorov-axiómák

A valószínűségi mértékre Kolmogorov három axiómát fogalmazott meg. Legyen A egy tetszőleges esemény az F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}-ben:

1. Nemnegativitás: P(A) ≥ 0.
2. Normalizáció: P(Ω) = 1.
3. Megszámlálható additivitás: Ha A1, A2, A3, ... kölcsönösen diszjunkt események (Az Ai ∩ Aj = ∅ minden i ≠ j), akkor P(⋃_{i=1}^∞ Ai) = Σ_{i=1}^∞ P(Ai).

Következmények és alapvető tulajdonságok

• Üres esemény: P(∅) = 0 (következik az axiómákból).
• Komplementer szabály: P(A^c) = 1 − P(A) minden A ∈ F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}-re.
• Monotonitás: Ha A ⊆ B akkor P(A) ≤ P(B).
• Két esemény közötti kapcsolat: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (így számolhatók az átfedések is).
• Unió becslés (Boole-egyenlőtlenség): P(⋃_{i} Ai) ≤ Σ_{i} P(Ai).
• Félig szigorúbb tulajdonságok: Ha P(A) = 1, akkor A-t majdnem biztos eseménynek (almost sure) nevezzük; ha P(A) = 0 akkor A nullhalmaz (null set).

Példák és típusok

• Diszkrét mintatér: Például érmefeldobásnál Ω = {fej, írás}, die-rollnál Ω = {1,2,3,4,5,6}. Ilyenkor gyakran elegendő a hatványhalmaz (az összes részhalmaz) mint σ-algebra, és P-t egyszerűen elemenként definiáljuk.
• Folytonos mintatér: Például a valós számok egy intervalluma Ω = [0,1], ahol az események a Borel-sigma-algebra elemei, és P például az egyenletes eloszlás (Lebesgue-mértékkel arányosan) lehet. Ilyenkor események valószínűsége mértékelméleti szemlélettel adódik.
• Vegyes esetek: Lehetnek diszkrét és folytonos komponenseket is tartalmazó eloszlások (pl. kevert eloszlások).

Feltételes valószínűség és függetlenség

A feltételes valószínűség egy esemény A valószínűségét adja meg az ismeretében, hogy B bekövetkezett: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), feltéve, hogy P(B) > 0. Két esemény A és B független, ha P(A ∩ B) = P(A) P(B). A függetlenség általánosítható több eseményre és σ-algebra-kra is (függetlenség mértékelméleti értelemben).

Valószínűségi terek szerepe és további fogalmak

• Valószínűségi változó: Egy valószínűségi változó (random variable) X olyan mérhető függvény X : Ω → R, amely pontokról (kimenetelekről) valós értékeket ad. Az X által indukált eloszlás a valós sorozat eseményeire rendel P-t adja: P_X(B) = P(X ∈ B).
• Eloszlásfüggvények és sűrűségek: Diszkrét esetben tömegfüggvényekkel, folytonos esetben sűrűségfüggvénnyel (pdf) szokás leírni az eloszlást, ha létezik.
• Mértékelméleti kiterjesztések: A valószínűségi terek nyelvezete a mértékelméletre épül, ami lehetővé teszi nagyon általános mintateret és eseményrendszert kezelni, például végtelen dimenziós terek esetén (stochastic processes).

Rövid történeti megjegyzés

Andrej Kolmogorov megalkotta a modern, axiomatikus valószínűségelmélet alapjait a 1930-as években (klasszikusan 1933-hoz kötik az alapvető munkát). Az ő formulációja tette lehetővé a valószínűség és a mértékelmélet szoros, egységes kezeltjeit, és ez az alapja a jelenlegi elméleti és alkalmazott valószínűségszámításnak.

Ha szükséges, szívesen kiegészítem az ismertetőt konkrét példákkal (érme-, kocka-, Gauss-eloszlás stb.), illetve formálisabb bizonyításokkal a fenti következményekre és azon axiómákból levezetett tételre, amelyeket külön érdekesnek talál.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a valószínűségi tér?

K: Miből áll a mintatér?

K: Mi az a kimenetel?

K: Mire használják az eseményeket a valószínűségi terekben?

K: Hogyan rendelnek valószínűségeket az egyes eseményekhez?

Keresés betűvel