Poincaré-sejtés
A Poincaré-sejtés a matematikában a gömbökre vonatkozó kérdés. Nevét Henri Poincaré francia matematikusról és fizikusról kapta, aki 1904-ben megfogalmazta.
A gömb (más néven 2-gömb, mivel kétdimenziós felület, bár általában háromdimenziós térben látjuk) rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely hurok rajta egy pontba összehúzható (ha egy gumiszalagot tekerünk a gömb köré, akkor le lehet csúsztatni egy pontba). A matematikusok azt mondják, hogy a 2 gömb egyszerűen összefüggő. Más terek nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal, például a fánk: egy gumiszalagot, amely egyszer körbejárja az egész fánkot, nem lehet úgy lecsúsztatni egy pontig, hogy az ne hagyja el a felületet.
A matematikusok tudták, hogy ez a tulajdonság csak a 2-es gömbre jellemző, abban az értelemben, hogy bármely más egyszerűen összefüggő tér, amelynek nincsenek élei és elég kicsi (matematikai értelemben kompakt), valójában a 2-es gömb. Ez azonban már nem igaz, ha eltávolítjuk a kicsiség gondolatát, mivel egy végtelenül nagy sík is egyszerűen összefüggő. Egy szabályos korong (egy kör és annak belseje) is egyszerűen összefüggő, de van egy éle (a határoló kör).
A feltevés azt kérdezi, hogy ugyanez igaz-e a 3 gömbre, amely egy olyan objektum, amely természetesen négy dimenzióban él. Ez a kérdés a modern matematika nagy részét motiválta, különösen a topológia területén. A kérdést végül 2002-ben Grigori Perelman orosz matematikus oldotta meg a geometria módszereivel, és kimutatta, hogy a kérdés valóban igaz. Munkájáért megkapta a Fields-érmet és az 1 millió dolláros Millennium-díjat, de mindkettőt visszautasította.
A Poincaré-féle sejtés magasabb dimenziókra is kiterjeszthető: ez az általánosított Poincaré-féle sejtés. Meglepő módon a tényt könnyebb volt bizonyítani magasabb dimenziós gömbökre: 1960-ban Smale bebizonyította, hogy igaz az 5, 6 és magasabb dimenziójú gömbökre. Freedman 1982-ben bebizonyította, hogy ez a 4-es gömbre is igaz, amiért Fields-érmet kapott.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Poincaré-sejtés?
V: A Poincaré-sejtés a matematikában a gömbökkel kapcsolatos kérdés, amelyet Henri Poincaré-ról neveztek el, és amely azt a kérdést teszi fel, hogy a 2-es gömb bizonyos tulajdonságai igazak-e a 3-as gömbre is.
K: Milyen tulajdonsága van a 2-es gömbnek?
V: A 2-es gömbnek megvan az a tulajdonsága, hogy bármely hurok összehúzható rajta egy pontba.
K: Ez a tulajdonság csak a 2-es gömbre jellemző?
V: Ez a tulajdonság csak a 2-gömbre jellemző az olyan kis terek tekintetében, amelyeknek nincsenek élei. Azonban egy végtelen nagy sík és egy szabályos korong (egy kör és annak belseje) mindkettő egyszerűen összefüggő, de vannak éleik.
K: Ki bizonyította be, hogy ez a magasabb dimenziós gömbökre is igaz?
V: 1960-ban Smale bebizonyította, hogy igaz az 5, 6 és magasabb dimenziós gömbökre, majd 1982-ben Freedman bebizonyította, hogy igaz a 4 dimenziós gömbökre is.
K: Ki oldotta meg a Poincaré-féle sejtést?
V: A Poincaré-féle sejtést Grigori Perelman orosz matematikus oldotta meg, aki a geometria módszereit használta fel annak bizonyítására, hogy a feltételezés valóban igaz.
K: Milyen díjakat kapott Perelman a munkájáért?
V: Perelman a Poincaré-vetés megoldásával kapcsolatos munkájáért Fields-érmet és 1 millió dollár millenniumi díjat kapott, azonban mindkét díjat visszautasította.
