Szinusztétel
A szinuszszabály vagy a szinuszok törvénye a matematika egyik tétele. Azt mondja ki, hogy ha van egy olyan háromszög, mint a képen látható, akkor az alábbi egyenlet igaz.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } 
Ez egy másik változat, amely szintén igaz.
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } 
A D egyenlő a háromszög kerületének átmérőjével.
A szinuszok törvényét egy háromszög fennmaradó oldalainak meghatározására használjuk, ha két szög és egy oldal ismert. Ezt nevezik háromszögelésnek. Ez a számítás azonban számszaki hibával járhat, ha egy szög közel 90 fokos. A szinuszok törvénye akkor is használható, ha két oldal és a két oldal által nem bezárt szögek egyike ismert. Néhány ilyen esetben a képlet két lehetséges értéket ad a bezárt szögre. Ezt kétértelmű esetnek nevezzük.
A szinuszok törvénye a két trigonometrikus egyenlet egyike, amelyet a szikár háromszögek hosszának és szögének meghatározására használnak. A másik a koszinuszok törvénye.
A magyarázathoz szükséges betűkkel felcímkézett háromszög. A, B és C a szögek. a az A-val szembeni oldal. b a B-vel szembeni oldal. c a C-vel szembeni oldal.
Bizonyíték
Bármely háromszög T {\displaystyle T}
területe felírható az alapterület felének és a magasságának szorzataként (a nem az alapterületen lévő csúcsból kiindulva). Attól függően, hogy melyik oldalt választjuk az alapnak, a területet a következővel adhatjuk meg
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Ha ezeket megszorozzuk 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}
, akkor a következő eredményt kapjuk
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,. } 
Kérdések és válaszok
K: Mi az a kék törvény?
V: A szinusz törvénye, más néven a szinusz törvénye egy matematikai tétel, amely azt mondja, hogy ha van egy olyan háromszög, mint a képen látható, akkor az egyenlet igaz.
K: Mit mond ez az egyenlet?
V: Ez az egyenlet azt mondja ki, hogy az egyes oldalak hosszának és a szemközti sarkok szinuszának aránya egyenlő.
K: Hogyan használják?
V: A szinusztörvényt használhatjuk egy háromszög fennmaradó oldalainak meghatározására, ha két szöget és egy oldalt ismerünk. Akkor is használható, ha ismerünk két oldalt és egy szöget, amelyet a két oldal nem zár be.
K: Mi történik a kétértelmű esetben?
V: Bizonyos esetekben a képlet két lehetséges értéket ad meg a bevont szögre. Ezt nevezzük kétértelmű esetnek.
K: Hogyan viszonyul más trigonometrikus egyenletekhez?
V: A szinuszok törvénye a két trigonometrikus egyenlet egyike, amelyet a sziklalap alakú háromszögek hosszának és szögének meghatározására használunk. A másik a koszinuszok törvénye.
K: Mekkora a D értéke? A: D egyenlő a háromszög kerületének átmérőjével.
