Szinuszok törvénye (szinuszszabály): definíció, képlet és példák
Ismerd meg a szinuszok törvényét: definíció, képletek, részletes példák és gyakorlati háromszögelési megoldások lépésről lépésre.
A szinuszszabály (más néven a szinuszok törvénye) a háromszögek egyik alapvető tétele. Megadja a háromszög oldalainak és szemközti szögeinek kapcsolatát, és különösen hasznos, ha két szög és egy oldal (AAS vagy ASA), illetve két oldal és egy nem közbezárt szög (SSA) ismert.
Képletek
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } 
Gyakran használjuk a következő, ekvivalens alakot is:
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } 
A D állandó a képletekben a köré írt kör átmérőjének felel meg, vagyis D = 2R, ahol R a háromszög köré írt körének (circumradius) sugara. Ebből következik, hogy minden oldalra teljesül: a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C, illetve R = a / (2 sin A) (és megfelelően a b, c-re).
Rövid bizonyítás
Jelölje Δ a háromszög területét. Mivel Δ = (1/2) b c sin A és Δ = (1/2) a c sin B, ezek egyenlőségéből kapjuk, hogy b c sin A = a c sin B. c-vel osztva sin A / a = sin B / b. Ugyanezt a lépést elvégezve a harmadik szögre is, kapjuk a sinA/a = sinB/b = sinC/c alakot. Ennek inverze adja az a/ sinA = b/ sinB = c/ sinC formulát.
Alkalmazás — hogyan oldunk meg háromszöget?
- ASA vagy AAS (két szög és egy oldal): Először kiszámoljuk a harmadik szöget: C = 180° − A − B. Ezután a szinuszszabállyal a hiányzó oldalakat: b = a·(sin B / sin A), c = a·(sin C / sin A).
- SSA (két oldal és az egyik nem közbezárt szög): Ekkor a szinuszszabályból sin B = b·sin A / a típusú egyenletet oldjuk meg. Ez lehet egyértelmű, kétértékű vagy megoldatlan — lásd a következő részt.
Kétértelmű eset (az ún. SSA- vagy „kétértelmű” eset)
Ha a sin értékére az arcsin függvényt alkalmazzuk, akkor két lehetséges szöget kaphatunk, mert sin θ = sin(180° − θ). Ennek gyakorlati következményei:
- Ha b·sin A / a > 1 → nincs megoldás (nincs valós szög).
- Ha b·sin A / a = 1 → egy megoldás (a másik lehetséges szög 90°), tehát pontosan egy (retttő) megoldás.
- Ha 0 < b·sin A / a < 1 → általában két lehetséges B: B1 = arcsin(...) és B2 = 180° − B1. Ezek közül akkor lesz valóban két lehetséges háromszög, ha A + B2 < 180° (azaz a harmadik szög C = 180° − A − B2 pozitív). Ellenkező esetben csak az egyik (B1) ad érvényes háromszöget.
Példa (SSA, kétértelmű eset): legyen a = 7, A = 30°, b = 10. Számoljuk:
- sin B = b·sin A / a = 10·sin30° / 7 = 10·0.5 / 7 ≈ 0.7142857
- ekkor B1 ≈ arcsin(0.7142857) ≈ 45.6°, B2 = 180° − 45.6° ≈ 134.4°
- Mindkét B lehetséges, mert A + B2 = 30° + 134.4° = 164.4° < 180°.
- Az ezekhez tartozó C értékek és c oldalak: ha B1, akkor C ≈ 104.4°, c ≈ 13.55; ha B2, akkor C ≈ 15.6°, c ≈ 3.76.
Néhány gyakorlati megjegyzés és numerikus stabilitás
- A szinuszszabály használata során, ha egy szögsinusz értéke közel van az 1-hez (vagy −1-hez), az arcsin művelet kis változásokra érzékeny lehet: numerikus hibákból nagy eltérés adódhat a szögben. Emiatt érdemes ilyenkor (különösen, ha egy szög közel 90°) a koszinusz-tételt használni az adott szög számításához, mivel ott a numerikus stabilitás jobb lehet.
- Mindig ellenőrizzük az eredményeket az összegszabállyal (A + B + C = 180°) és a háromszög egyenlőtlenséggel az oldalakra vonatkozóan, hogy fizikai, valós háromszöget kaptunk-e.
- Az egyenletek alkalmazásánál ügyeljünk a fokok és radiánok konzisztens használatára a számítások során, attól függően, milyen mértékegységű trigonometrikus függvényeket használunk.
Összefoglalás: A szinuszszabály egyszerű és hatékony módszer háromszögoldalak és -szögek közötti kapcsolatok kezelésére, különösen ASA és AAS esetekben. Az SSA eseteknél azonban előfordulhat kétértelműség, és numerikus szempontból gondot okozhat, ha a szinusz értéke közel van ±1-hez; ilyen helyzetekben a koszinusz-tétel alternatívát jelenthet.
A magyarázathoz szükséges betűkkel felcímkézett háromszög. A, B és C a szögek. a az A-val szembeni oldal. b a B-vel szembeni oldal. c a C-vel szembeni oldal.
Bizonyíték
Bármely háromszög T {\displaystyle T}
területe felírható az alapterület felének és a magasságának szorzataként (a nem az alapterületen lévő csúcsból kiindulva). Attól függően, hogy melyik oldalt választjuk az alapnak, a területet a következővel adhatjuk meg
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Ha ezeket megszorozzuk 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}
, akkor a következő eredményt kapjuk
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,. } 
Kérdések és válaszok
K: Mi az a kék törvény?
V: A szinusz törvénye, más néven a szinusz törvénye egy matematikai tétel, amely azt mondja, hogy ha van egy olyan háromszög, mint a képen látható, akkor az egyenlet igaz.
K: Mit mond ez az egyenlet?
V: Ez az egyenlet azt mondja ki, hogy az egyes oldalak hosszának és a szemközti sarkok szinuszának aránya egyenlő.
K: Hogyan használják?
V: A szinusztörvényt használhatjuk egy háromszög fennmaradó oldalainak meghatározására, ha két szöget és egy oldalt ismerünk. Akkor is használható, ha ismerünk két oldalt és egy szöget, amelyet a két oldal nem zár be.
K: Mi történik a kétértelmű esetben?
V: Bizonyos esetekben a képlet két lehetséges értéket ad meg a bevont szögre. Ezt nevezzük kétértelmű esetnek.
K: Hogyan viszonyul más trigonometrikus egyenletekhez?
V: A szinuszok törvénye a két trigonometrikus egyenlet egyike, amelyet a sziklalap alakú háromszögek hosszának és szögének meghatározására használunk. A másik a koszinuszok törvénye.
K: Mekkora a D értéke? A: D egyenlő a háromszög kerületének átmérőjével.
Keres