Nagy számok törvénye

A nagy számok törvénye (LLN) egy statisztikai tétel. Tekintsünk valamilyen folyamatot, amelyben véletlenszerű eredmények fordulnak elő. Például egy véletlen változót ismételten megfigyelünk. Ekkor a megfigyelt értékek átlaga hosszú távon stabil lesz. Ez azt jelenti, hogy hosszú távon a megfigyelt értékek átlaga egyre közelebb kerül a várható értékhez.

Kockadobáskor az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számok a lehetséges eredmények. Mindegyik egyformán valószínű. A kimenetek populációs átlaga (vagy "várható értéke") a következő:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

A következő grafikon egy kockadobási kísérlet eredményeit mutatja. Ebben a kísérletben látható, hogy a kockadobások átlaga kezdetben vadul változik. Az LLN által megjósolt módon az átlag a megfigyelések számának növekedésével a 3,5-es várható érték körül stabilizálódik.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Történelem

Jacob Bernoulli írta le először az LLN-t. Szerinte ez olyan egyszerű volt, hogy még a legostobább ember is ösztönösen tudja, hogy igaz. Ennek ellenére több mint 20 évébe telt, mire kidolgozott egy jó matematikai bizonyítást. Miután megtalálta, 1713-ban az Ars Conjectandi (A sejtetés művészete) című könyvében publikálta a bizonyítást. Ezt nevezte el "Aranytételének". Általánosan "Bernoulli-tétel" néven vált ismertté (nem tévesztendő össze az azonos nevű fizikai törvénnyel). 1835-ben S.D.Poisson "La loi des grands nombres" (A nagy számok törvénye) néven írta le tovább. Ezután mindkét néven ismert volt, de leggyakrabban a "nagy számok törvénye" elnevezést használják.

Más matematikusok is hozzájárultak a törvény jobbá tételéhez. Közülük néhányan: Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli és Kolmogorov. E tanulmányok után ma már a törvénynek két különböző formája létezik: Az egyiket "gyenge" törvénynek, a másikat "erős" törvénynek nevezik. Ezek a formák nem különböző törvényeket írnak le. Különböző módon írják le a megfigyelt vagy mért valószínűségnek a tényleges valószínűséghez való közeledését. A törvény erős formája feltételezi a gyenge formát.

Kérdések és válaszok

K: Mi a nagy számok törvénye?


V: A nagy számok törvénye egy statisztikai tétel, amely azt állítja, hogy ha egy véletlen folyamatot ismételten megfigyelünk, akkor a megfigyelt értékek átlaga hosszú távon stabil lesz.

K: Mit jelent a nagy számok törvénye?


V: A nagy számok törvénye azt jelenti, hogy a megfigyelések számának növekedésével a megfigyelt értékek átlaga egyre közelebb kerül a várható értékhez.

K: Mi az a várható érték?


V: A várható érték egy véletlen folyamat kimeneteleinek populációs átlaga.

K: Mi a kockadobás várható értéke?


V: A kockadobás várható értéke a lehetséges kimenetek összege osztva a kimenetek számával: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

K: Mit mutat a szövegben szereplő grafikon a nagy számok törvényével kapcsolatban?


V: A grafikon azt mutatja, hogy a kockadobások átlaga eleinte vadul változik, de ahogy azt az LLN megjósolja, az átlag a megfigyelések számának növekedésével a 3,5 várható érték körül stabilizálódik.

K: Hogyan alkalmazható a nagy számok törvénye a kockadobásra?


V: A nagy számok törvénye azért érvényes a kockadobásra, mert a dobások számának növekedésével a dobások átlaga egyre közelebb kerül a 3,5 várható értékhez.

K: Miért fontos a nagy számok törvénye a statisztikában?


V: A nagy számok törvénye azért fontos a statisztikában, mert elméleti alapot biztosít annak az elképzelésnek, hogy az adatok nagyszámú megfigyelés esetén átlagosan kiegyenlítődnek. Ez az alapja számos statisztikai módszernek, például a konfidenciaintervallumoknak és a hipotézisvizsgálatnak.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3