Nagy számok törvénye (LLN): mi ez, hogyan működik — példa
Nagy számok törvénye (LLN) egyszerű magyarázata és kockadobásos példa — hogyan és miért közelít az átlag a várható értékhez hosszú távon.
A nagy számok törvénye (LLN) egy statisztikai tétel. Tekintsünk valamilyen folyamatot, amelyben véletlenszerű eredmények fordulnak elő. Például egy véletlen változót ismételten megfigyelünk. Ekkor a megfigyelt értékek átlaga hosszú távon stabil lesz. Ez azt jelenti, hogy hosszú távon a megfigyelt értékek átlaga egyre közelebb kerül a várható értékhez. A törvény megadja, hogy bizonyos feltételek mellett a mintaátlag (az első n megfigyelés átlagértéke) konvergál a populációs átlaghoz, amikor n növekszik.
Mit jelent pontosan?
Gyakorlati értelemben az LLN azt mondja: ha sokszor megismétlünk egy kísérletet (önálló, azonos eloszlású próbák), akkor a tapasztalati átlag közelít a valós, elméleti várható értékhez. Jelölve X1, X2, …, Xn független, azonos eloszlású véletlen változókat, és μ = E[X1] a várható érték, akkor a mintaátlag
X̄n = (1/n) · (X1 + X2 + … + Xn)
konvergál μ-hoz, azaz X̄n → μ (valamilyen értelemben, lásd alább), ha n → ∞.
Gyenge és erős törvény
- Gyenge nagy számok törvénye (WLLN): általában azt állítja, hogy X̄n konvergál μ-hoz valószínűség szerint (convergence in probability). Ez azt jelenti, hogy bármely kis ε > 0 esetén P(|X̄n − μ| > ε) → 0, amikor n → ∞.
- Erős nagy számok törvénye (SLLN): erősebb állítás, amely szerint X̄n konvergál μ-hoz majdnem biztosan (almost surely, vagyis valószínűséggel 1). Ez azt jelenti, hogy a realizációk többségénél a sorozat határértéke μ lesz.
Feltételek és megjegyzések
- Leggyakoribb feltétel: a megfigyelések függetlenek és azonos eloszlásúak (i.i.d.), továbbá a várható értékük véges: E[|X1|] < ∞. Sok bizonyításnál további feltételeket (például véges variancia) használnak, de a legfontosabb, hogy ne legyen „végtelen várható érték”.
- Az LLN nem mond semmit arról, hogy milyen gyorsan történik a konvergencia — erre vonatkoznak a további eredmények (például koncentrációs egyenlőtlenségek vagy a központi határeloszlás).
- Ne tévesszük össze a gambler’s fallacy-vel: az, hogy hosszú távon az átlag közelít a várható értékhez, nem jelenti azt, hogy rövidebb sorozatokban a véletlen "kiegyenlítődne" vagy hogy az egyes, rövid távon ritka események előfordulási valószínűsége megváltozna.
Különbség a központi határeloszlástól (CLT)
Az LLN arról szól, hogy a mintaátlag maga közelít a várható értékhez. A központi határeloszlás (CLT) viszont azt írja le, hogyan viselkedik az átlagtól való eltérés: a megfelelően normált eltérések eloszlása közelít egy normális eloszláshoz. Röviden: LLN → helyhez való konvergencia (a közép felé), CLT → a fluktuációk eloszlása.
Példa kockadobással
Kockadobáskor az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számok a lehetséges eredmények. Mindegyik egyformán valószínű. A kimenetek populációs átlaga (vagy "várható értéke") a következő:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Mivel minden dobás független és azonos eloszlású, az LLN szerint a dobások átlagát (összeadva az eredményeket, majd osztva a próbák számával) egyre jobban megközelíti 3,5-öt, ha sokszor dobunk. Kezdetben az átlag nagy ingadozásokat mutathat, de idővel stabilizálódik.
A következő grafikon egy kockadobási kísérlet eredményeit mutatja. Ebben a kísérletben látható, hogy a kockadobások átlaga kezdetben vadul változik. Az LLN által megjósolt módon az átlag a megfigyelések számának növekedésével a 3,5-es várható érték körül stabilizálódik.
Gyakorlati következmények
- Statisztikai becslés: az LLN alapozza meg a mintaátlagot, mint konzisztens becslőt a populációs átlagra.
- Szimulációk és Monte Carlo módszerek: sok véletlenszerű mintavétel eredményének átlaga megbízható becslést ad egy várható értékre.
- Közgazdasági és mérnöki alkalmazások: megbízhatóság, kockázatbecslés és várható értékek számítása nagy minták esetén.
Összefoglalás
A nagy számok törvénye egy alapvető statisztikai elv, amely megmutatja, hogy sok ismételt, független megfigyelés esetén a mintaátlag konvergál a várható értékhez. Fontos megérteni a feltételeit, a gyenge és erős változat közti különbséget, valamint azt, hogy ez nem ad információt a konvergencia sebességéről — erre további elméleti eszközök szolgálnak (például koncentrációs egyenlőtlenségek és a központi határeloszlás).
Történelem
Jacob Bernoulli írta le először az LLN-t. Szerinte ez olyan egyszerű volt, hogy még a legostobább ember is ösztönösen tudja, hogy igaz. Ennek ellenére több mint 20 évébe telt, mire kidolgozott egy jó matematikai bizonyítást. Miután megtalálta, 1713-ban az Ars Conjectandi (A sejtetés művészete) című könyvében publikálta a bizonyítást. Ezt nevezte el "Aranytételének". Általánosan "Bernoulli-tétel" néven vált ismertté (nem tévesztendő össze az azonos nevű fizikai törvénnyel). 1835-ben S.D.Poisson "La loi des grands nombres" (A nagy számok törvénye) néven írta le tovább. Ezután mindkét néven ismert volt, de leggyakrabban a "nagy számok törvénye" elnevezést használják.
Más matematikusok is hozzájárultak a törvény jobbá tételéhez. Közülük néhányan: Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli és Kolmogorov. E tanulmányok után ma már a törvénynek két különböző formája létezik: Az egyiket "gyenge" törvénynek, a másikat "erős" törvénynek nevezik. Ezek a formák nem különböző törvényeket írnak le. Különböző módon írják le a megfigyelt vagy mért valószínűségnek a tényleges valószínűséghez való közeledését. A törvény erős formája feltételezi a gyenge formát.
Kérdések és válaszok
K: Mi a nagy számok törvénye?
V: A nagy számok törvénye egy statisztikai tétel, amely azt állítja, hogy ha egy véletlen folyamatot ismételten megfigyelünk, akkor a megfigyelt értékek átlaga hosszú távon stabil lesz.
K: Mit jelent a nagy számok törvénye?
V: A nagy számok törvénye azt jelenti, hogy a megfigyelések számának növekedésével a megfigyelt értékek átlaga egyre közelebb kerül a várható értékhez.
K: Mi az a várható érték?
V: A várható érték egy véletlen folyamat kimeneteleinek populációs átlaga.
K: Mi a kockadobás várható értéke?
V: A kockadobás várható értéke a lehetséges kimenetek összege osztva a kimenetek számával: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
K: Mit mutat a szövegben szereplő grafikon a nagy számok törvényével kapcsolatban?
V: A grafikon azt mutatja, hogy a kockadobások átlaga eleinte vadul változik, de ahogy azt az LLN megjósolja, az átlag a megfigyelések számának növekedésével a 3,5 várható érték körül stabilizálódik.
K: Hogyan alkalmazható a nagy számok törvénye a kockadobásra?
V: A nagy számok törvénye azért érvényes a kockadobásra, mert a dobások számának növekedésével a dobások átlaga egyre közelebb kerül a 3,5 várható értékhez.
K: Miért fontos a nagy számok törvénye a statisztikában?
V: A nagy számok törvénye azért fontos a statisztikában, mert elméleti alapot biztosít annak az elképzelésnek, hogy az adatok nagyszámú megfigyelés esetén átlagosan kiegyenlítődnek. Ez az alapja számos statisztikai módszernek, például a konfidenciaintervallumoknak és a hipotézisvizsgálatnak.
Keres