Fermat-számok
A Fermat-szám egy speciális pozitív szám. A Fermat-számokat Pierre de Fermat-ról nevezték el. Az őket előállító képlet a következő
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\\overset {n}{}}}+1} 
ahol n egy nemnegatív egész szám. Az első kilenc Fermat-szám a következő (az OEIS A000215 szekvenciája):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
2007-ig csak az első 12 Fermat-számot sikerült teljes mértékben faktorizálni. (Prímszámok szorzataként írva) Ezek a faktorizálásai megtalálhatók a Fermat-számok prímtényezői címen.
Ha 2n + 1 prímszám, és n > 0, akkor megmutatható, hogy n-nek kettes hatványnak kell lennie. Minden 2n + 1 alakú prímszám Fermat-szám, és az ilyen prímszámokat Fermat-prímszámoknak nevezzük. Az egyetlen ismert Fermat-prímszám az F0,...,F4.
Érdekes dolgok a Fermat-számokról
- Nincs két Fermat-számnak közös osztója.
- A Fermat-számok rekurzívan kiszámíthatók: Az N-edik számot úgy kapjuk meg, hogy az előtte lévő összes Fermat-számot megszorozzuk, és az eredményhez kettőt adunk hozzá.
Mire használják őket
Ma a Fermat-számok véletlen számok generálására használhatók 0 és egy N érték között, amely 2 hatványa.
Fermat sejtése
Fermat, amikor ezeket a számokat tanulmányozta, feltételezte, hogy minden Fermat-szám prímszám. Ezt Leonhard Euler bizonyította be, aki 1732-ben faktorálta F 5 {\displaystyle F_{5}}
.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a Fermat-szám?
A: A Fermat-szám egy speciális pozitív szám, amelyet Pierre de Fermat-ról neveztek el. Az F_n = 2^2^(n) + 1 képlettel állítható elő, ahol n egy nemnegatív egész szám.
K: Hány Fermat-szám létezik?
V: 2007-ig csak az első 12 Fermat-számot sikerült teljesen faktorizálni.
K: Mi az első kilenc Fermat-szám?
A: Az első kilenc Fermat-szám: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 1844674404073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (5964958912749497217 × 5704689200685129054721), és F8 = 11579208923731619542353570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
K: Mit lehet mondani a 2n + 1 alakú prímszámokról?
V: Ha 2n + 1 prímszám és n > 0, akkor kimutatható, hogy n-nek kettes hatványnak kell lennie. Minden 2n + 1 alakú prímszám egyben Fermat-szám is, és az ilyen prímszámokat Fermat-prímszámoknak nevezzük. Az egyetlen ismert Fermat-prímszámok 0-tól 4-ig terjednek.
K: Hol találjuk meg mind a 12 ismert faktorált Fermat-szám faktorizációját?
V: A Fermat-számok prímtényezőinek faktorizációi mind a 12 ismert faktoráltFermat-számhoz megtalálhatók a Fermat-számok prímtényezői oldalon.
K: Ki volt Pierre de Fermaat?
V: Pierre de Fermaat a 17. században élt befolyásos francia matematikus volt, akinek munkássága nagyban megalapozta a modern matematikát. Leginkább a valószínűségelmélethez és az analitikus geometriához való hozzájárulásáról, valamint híres utolsó tételéről ismert, amely 1995-ig megoldatlan maradt, amikor Andrew Wiles végül az algebrai geometria módszereivel bebizonyította.
