Intervallum (matematika) — definíció, jelölés, típusok és példák

Intervallum (matematika): világos definíció, jelölések, zárt/nyílt típusok és szemléletes példák — gyors, érthető magyarázat diákoknak és gyakorláshoz.

Szerző: Leandro Alegsa

09-01-2026 22:30

A matematikában az intervallum egy számsorozatot vagy számkészletet jelent, amely tartalmaz minden valós számot két megadott végpont között (azaz nincs „rés” a belsejében). Formálisan egy intervallum a valós számok egy olyan részhalmaza, amelyre teljesül: ha x és y az intervallumban vannak és x < z < y, akkor z is az intervallumban van. A kezdő- és végpont (az úgynevezett végpontok) lehetnek az intervallum részei vagy kizártak attól függően, hogyan jelöljük őket.

Jelölés

Az intervallumokat zárójelekkel szokás jelölni. A két leggyakoribb jelölés:

[a, b] — zárt intervallum: az a és b is része az intervallumnak (végpontok belefoglalva).
(a, b) — nyílt intervallum: az a és b nem részei az intervallumnak (végpontok kizárva).

Félzárt (félnyitott) intervallumok: [a, b) vagy (a, b], ahol csak az egyik végpont szerepel. Az intervallumon belüli elemek felsorolásakor általában vesszőt használunk a határok elválasztására: például (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4).

Típusok és példák

Zárt intervallum [a, b]: minden x, amelyre a ≤ x ≤ b. Példa: [3,3, 15] (ha a felírásban a vesszőket tizedespontként értelmezzük, akkor ez a megjegyzésnél a helyes forma [3,3; 15] helyett ritkábban használt — a megszokott jelölés [3{,}3, 15] helyett [3{,}3, 15] — a lényeg, hogy a végpontok be vannak foglalva).
Nyílt intervallum (a, b): minden x, amelyre a < x < b. Példa: (4, 9,6) tartalmaz például 4,1-et vagy 9,5-öt, de nem tartalmazza a 4-et és 9,6-ot.
Félzárt intervallumok [a, b) és (a, b]: például [-30, -4) tartalmazza a -30-at, de nem tartalmazza a -4-et.
Degenerált (egy pontból álló) intervallum: [a, a] pontosan az {a} halmaz. (a, a) üres halmaz.

Példa a gyakorlatban: vegyük azt az intervallumot, amely 3,3-tól 15-ig terjed. Ha ezt zárt intervallumként értjük, azaz [3,3, 15], akkor olyan számok, mint 4, 8, 9,5, 14 vagy akár 14,999 mind benne vannak. Az olyan számok, mint -4, 2, 3,2, 20 és 15,000001 nem tartoznak bele. Ha azonban nyílt intervallumról van szó, (3,3, 15), akkor 3,3 és 15 maguk nem tartoznak az intervallumba.

Végtelen intervallumok

Az intervallumok végtelen határok felé is kiterjeszthetők, ilyenkor az infinity jelét használjuk:

(a, ∞) vagy [a, ∞) — minden x > a (illetve x ≥ a) tartozik hozzá.
(-∞, b) vagy (-∞, b] — minden x < b (illetve x ≤ b) tartozik hozzá.
(-∞, ∞) — a valós számok egész halmaza, azaz R.

Különleges fogalmak és műveletek

Üres intervallum: Nincs valós szám a megadott határok között (például (1,1) üres).
Hossza (mértéke): egy véges intervallum [a, b] vagy (a, b) hossza b − a. A végtelen intervallumok hossza ∞.
Metszet és unió: két intervallum metszete ismét intervallum (vagy üres halmaz). Példa: [a, b] ∩ [c, d] = [max(a, c), min(b, d)] ha max(a,c) ≤ min(b,d), különben üres.
Egész számok közötti intervallumok: ha csak egész számokra gondolunk, akkor az [m, n] ∩ Z jelöli az m és n közötti egész számokat (például {3, 4, …, 15}).

Megjegyzések a jelölésről

Fontos megkülönböztetni a zárójeleket: a [ ] zárja be a végpontot (belefoglalja), az ( ) kizárja azt. A tizedesjegyeket magyarul vesszővel írjuk (például 9,6), és az intervallumjelölésben a határokat vessző választja el egymástól: például (4, 9,6) olvasható úgy, hogy „4 és 9,6 közötti értékek, a határok kizártak”.

Különböző típusú intervallumok

Az intervallumok aszerint különíthetők el, hogy hogyan viselkednek a végükön. Az intervallumok lehetnek zártak, nyitottak vagy vegyesek.

Zárt intervallumok

A zárt intervallum magában foglalja az elejét és a végét is. Egy zárt intervallum, amelynek az eleje 3, a vége pedig 5,4, magában foglalja a 3-at, az 5,4-et és a 3 és 5,4 közötti összes számot. Zárt intervallumot szögletes zárójelben ( [ és ] ) írhatunk. Egy példa zárt intervallumra a [136, 450].

Nyitott intervallumok

A nyitott intervallum nem tartalmazza az elejét vagy a végét. Egy nyitott intervallum, amelynek az eleje 3, a vége pedig 5, tartalmazna minden számot 3 és 5 között, de nem tartalmazna 3-at vagy 5-öt. A nyitott intervallum leírásához használjon zárójeleket ( ( és ) ). Egy példa egy nyitott intervallumra a (2, 5).

Vegyes intervallumok

A vegyes intervallum egyik végén nyitott, a másik végén zárt. Ez azt jelenti, hogy az intervallum tartalmazhatja az elejét, de nem a végét, vagy tartalmazhatja a végét, de nem az elejét. A [9, 23] intervallum tartalmazná a 9-et, de nem tartalmazná a 23-at.

Kérdések és válaszok

K: Mi az az intervallum a matematikában?

V: A matematikában az intervallum olyan számcsoport, amely magában foglalja az összes számot az eleje és a vége között.

K: Hogyan lehet meghatározni, hogy mely számok vannak egy intervallumon belül?

V: Azok a számok, amelyek nagyobbak, mint a kezdőszám és kisebbek, mint a végszám, az intervallumon belül vannak, azok a számok pedig, amelyek kisebbek, mint a kezdőszám vagy nagyobbak, mint a végszám, nem tartoznak az intervallumba.

K: A kezdő- és a végszámnak is benne kell lennie egy intervallumban?

V: A kezdőszám és a végszám lehet, hogy az intervallumon belül van, de lehet, hogy nem.

K: Hogyan kell intervallumot írni?

V: Intervallumot úgy írhatunk, hogy vagy szögletes zárójelet ( [ ) vagy zárójelet ( ( ) írunk, majd megadjuk a kezdőszámot, amelyet vessző ( , ) követ, majd megadjuk a végszámot, amelyet vagy záró szögletes zárójel ( ] ) vagy zárójel ( ) követ.

K: Tudna példákat mondani az intervallumokra?

V: Az intervallumokra példák: (4, 9,6), [-100, 100], [-30, -4).

K: Megengedettek-e negatív számok egy intervallumon belül?

V: Igen, negatív számok is szerepelhetnek egy intervallumon belül.

Keres