Kombinált gáztörvény

Levezetés a gáztörvényekből

Boyle törvénye szerint a nyomás és a térfogat szorzata állandó:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

A Charles-törvény szerint a térfogat arányos az abszolút hőmérséklettel:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussac törvénye szerint a nyomás arányos az abszolút hőmérséklettel:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

ahol P a nyomás, V a térfogat és T az ideális gáz abszolút hőmérséklete.

Az (1) és (2) vagy (3) kombinálásával egy új egyenletet kapunk P, V és T értékekkel. Ha az (1) egyenletet elosztjuk a hőmérséklettel és a (2) egyenletet megszorozzuk a nyomással, akkor a következőt kapjuk:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P}} .

Mivel mindkét egyenlet bal oldala megegyezik, így a következő eredményt kapjuk

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P}}

ami azt jelenti, hogy

P V T = konstans {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konstant}}} .

Az Avogadro-törvényt behelyettesítve megkapjuk az ideális gáz egyenletét.

Fizikai levezetés

A kombinált gáztörvénynek csak elemi algebrát használó levezetése meglepetéseket tartalmazhat. Például, a három empirikus törvényből kiindulva

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Gay-Lussac-törvény, térfogat állandónak feltételezve

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Charles törvénye, nyomás állandónak feltételezve

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Boyle-törvény, a hőmérsékletet állandónak feltételezve

ahol kV, kP és kT az állandók, a hármat összeszorozva megkapjuk a következőt

P V P V = k V T k P T k T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}Tk_{T}\,\! }

Ha mindkét oldal négyzetgyökét vesszük és elosztjuk T-vel, akkor a kívánt eredményt kapjuk.

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}\,\! }

Ha azonban a fenti eljárás alkalmazása előtt egyszerűen átrendezzük a Boyle-törvény kT = PV kifejezéseit, akkor a törlés és átrendezés után a következő eredményt kapjuk

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }

ami nem túl hasznos, ha nem félrevezető.

A hosszabb, de megbízhatóbb fizikai levezetés azzal kezdődik, hogy a Gay-Lussac-törvényben szereplő állandó térfogat paraméter a rendszer térfogatának változásával változik. Állandó térfogat _V1 esetén a törvény P = k1T, míg állandó térfogat _{V2 esetén} P = k2T lehet. Ha ezt a "változó állandó térfogatot" kV(V)-vel jelöljük, akkor a törvényt a következőképpen írjuk át

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\,\! }           (4)

Ugyanez a megfontolás vonatkozik a Charles-törvényben szereplő állandóra is, amely átírható a következőképpen

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\,\! }           (5)

A kV(V) megtalálása során nem szabad gondolkodás nélkül kiiktatni a T-t a (4) és az (5) között, mivel P az előbbiben változó, míg az utóbbiban állandónak feltételezzük. Inkább azt kell először meghatározni, hogy ezek az egyenletek milyen értelemben kompatibilisek egymással. Hogy betekintést nyerjünk ebbe, emlékezzünk arra, hogy bármely két változó meghatározza a harmadikat. Ha úgy döntünk, hogy P és V függetlenek, akkor a T értékeket a PV-sík fölött egy felületet alkotva képzeljük el. Egy meghatározott V0 és P0 meghatároz egy T0-t, egy pontot ezen a felületen. Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a (4) és (5)-be, és átrendezzük, akkor a következő eredményt kapjuk

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}}{k_{P}(P_{0})}}}}

Mivel mindkettő azt írja le, hogy mi történik a felszín ugyanazon pontján, a két numerikus kifejezés egyenlővé tehető és átrendezhető.

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}}\,\! }           (6)

Megjegyezzük, hogy 1/kV(V0) és 1/kP(P0) a P-tengellyel/V-tengellyel párhuzamos és a PV-sík feletti felület adott pontján áthaladó merőleges egyenesek meredeksége. E két egyenes meredekségének aránya csak a P0/V0 értékétől függ az adott pontban.

Megjegyzendő, hogy a (6) funkcionális formája nem függ a kiválasztott konkrét ponttól. Ugyanez a képlet a P és V értékek bármely más kombinációja esetén is előállt volna. Ezért felírhatjuk

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}}\quad \forall P,\forall V}           (7)

Ez azt jelenti, hogy a felület minden egyes pontján egy saját pár ortogonális egyenes halad keresztül, amelyek meredekségi aránya csak az adott ponttól függ. Míg a (6) a konkrét meredekségek és a változó értékek közötti kapcsolat, addig a (7) a meredekségi függvények és a függvényváltozók közötti kapcsolat. Ez a felület bármely pontjára, azaz a P és V értékek bármely és minden kombinációjára igaz. Ahhoz, hogy ezt az egyenletet a kV(V) függvényre megoldjuk, először válasszuk szét a változókat, V-t a bal oldalon, P-t a jobb oldalon.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Válasszon bármilyen nyomást P1. A jobb oldali érték valamilyen tetszőleges értékre értékelődik, nevezzük _karb-nak.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

Ennek a különleges egyenletnek most már nem csak V egy értékére, hanem V minden értékére igaznak kell lennie. A kV(V) egyetlen olyan definíciója, amely ezt minden V és tetszőleges _karb esetén garantálja, a következő

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\\text{arb}}}{V}}}} (9)

ami a (8) pontban szereplő helyettesítővel ellenőrizhető.

Végül, ha a (9)-et behelyettesítjük a Gay-Lussac-törvény (4)-be, és átrendezzük, megkapjuk a kombinált gáztörvényt.

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }

Megjegyzendő, hogy bár a Boyle-törvényt nem használtuk ebben a levezetésben, az eredményből könnyen levezethető. Általában a három kiindulási törvény közül bármelyik kettőre szükség van az ilyen típusú levezetéshez - minden kiindulási pár ugyanahhoz a kombinált gáztörvényhez vezet.

Alkalmazások

A kombinált gáztörvény használható a mechanika magyarázatára ott, ahol a nyomás, a hőmérséklet és a térfogat befolyásolja. Például: légkondicionálók, hűtőszekrények és a felhők kialakulása, valamint a folyadékmechanikában és a termodinamikában is alkalmazható.

Kapcsolódó oldalak

• Dalton törvénye