Boyle–Mariotte-törvény: az ideális gázok nyomás–térfogat törvénye (PV=konst.)

Boyle–Mariotte-törvény (PV=konst.): az ideális gázok nyomás–térfogat kapcsolatának magyarázata, gyakorlati példákkal és lépésről lépésre számításokkal.

Szerző: Leandro Alegsa

19-10-2025 14:31

Boyle–Mariotte-törvény (más néven Boyle-törvény vagy Mariotte-törvény) az ideális gázokra vonatkozó alapvető törvény, amely az izoterm (azaz konstans hőmérsékleten végzett) folyamatokban a P (nyomás) és a V (térfogat) közötti kapcsolatot írja le.

Törvény megfogalmazása

Egyszerűen fogalmazva: egy adott tömegű (vagy állandó anyagmennyiségű) ideális gáz térfogata állandó hőmérsékleten fordítottan arányos a rá gyakorolt nyomással. Más szavakkal, ha a hőmérséklet nem változik, akkor a gáz térfogatának csökkenése a nyomás növekedését váltja ki, és fordítva.

Matematikai alak

Az arányosságot röviden így írhatjuk:

P ∝ 1/V $P\propto {\frac {1}{V}}$

amelyből következik, hogy a nyomás és a térfogat szorzata állandó:

PV = k $PV=k$

ahol P a gáz nyomása, V a gáz térfogata, k pedig egy adott tömegre és hőmérsékletre jellemző állandó.

Állapotváltozások leírása

Két izoterm állapotot összehasonlítva (kezdeti állapot: _P1, _V1; végállapot: _P2, _V2) a törvény szerint

P₁V₁ = k $P_{1}V_{1}=k$

P₂V₂ = k $P_{2}V_{2}=k$

Így:

P₁V₁ = P₂V₂ $P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}$

Gyakorlati példa

Példa: Egy gáz nyomása P1 = 3 atm, térfogata V1 = 5 L. Ha a nyomást P2 = 2 atm-ra csökkentjük, mekkora lesz a térfogat V2?

P₁V₁ = P₂V₂ $P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}$

V₂ = (P₁ V₁) / P₂ $V_{2}={\frac {P_{1}V_{1}}{P_{2}}}$

V₂ = (3 atm × 5 L) / 2 atm = 15 / 2 L $V_{2}={\frac {3*5}{2}}$

V₂ = 7.5 L $V_{2}=7.5$

∴ A térfogat 7,5 liter lesz.

Miért működik így? (mikroszkopikus magyarázat)

Az ideális gáz részecskéi véletlenszerűen mozognak és ütköznek a tartály falával. A nyomás a fal és a részecskék közötti ütközésekből eredő impulzusmomentum-változásokból adódik. Ha ugyanannyi részecske kisebb térben mozog (V csökken), akkor a részecskék sűrűsége és az egységnyi felületre eső ütközések száma nő, így nő az össznyomás (P). Ha a hőmérséklet állandó, a részecskék sebességeloszlása nem változik, ezért a nyomás és a térfogat inverz arányossága fennáll.

Alkalmazhatóság és korlátok

A Boyle–Mariotte-törvény pontosan igaz az ideális gázokra és akkor, ha a hőmérséklet és az anyagmennyiség (vagy tömeg) nem változik (izoterm, zárt rendszer).
Valós gázoknál (különösen nagy nyomáson és alacsony hőmérsékleten) a kölcsönhatások és a részecskék térfogata miatt eltérések lépnek fel; ilyen esetekben a valódi állapotokat például a van der Waals-egyenlet jobban leírja.
A törvény beilleszthető az általánosabb ideális gáz törvénybe: PV = nRT, ahol n az anyagmennyiség, R az egyetemes gázállandó és T a hőmérséklet. Izoterm esetben T konstans, így PV = nRT = konstans, ami a Boyle–Mariotte-formulának felel meg.

Történeti megjegyzés

A jelenséget először Robert Boyle írta le 1662-ben, majd függetlenül ugyanazt a törvényt vizsgálta Edme Mariotte 1679-ben; ezért szokásosan Boyle–Mariotte-törvényként is emlegetik.

A nyomás és a térfogat közötti összefüggést bemutató animáció.A gáz mennyisége és hőmérséklete állandó.

Kérdések és válaszok

K: Mi a Boyle-törvény?

V: Boyle törvénye (más néven Mariotte-törvény és Boyle-Mariotte-törvény) az ideális gázokról szóló törvény, amely kimondja, hogy egy állandó hőmérsékleten tartott ideális gáz rögzített mennyiségére vonatkozóan a nyomás (P) és a térfogat (V) fordítottan arányos.

K: Hogyan fejezhetjük ki matematikailag Boyle törvényét?

V: A Boyle-törvényt matematikailag úgy fejezhetjük ki, hogy P ∝ 1/V vagy PV = k, ahol P a gáz nyomása, V a gáz térfogata, k pedig egy állandó.

K: Ki fedezte fel ezt a törvényt?

V: A törvényt Robert Boyle találta meg 1662-ben, majd ettől függetlenül Edme Mariotte 1679-ben.

K: Mit jelent, amikor azt mondjuk, hogy P és V fordítottan arányos?

V: Ez azt jelenti, hogy ahogy az egyik növekszik, a másik arányosan csökken - tehát ha egy bizonyos mennyiségű gázt tartalmazó tartály térfogatát csökkentjük egy bizonyos nyomáson, akkor a részecskék közötti nagyobb ütközések miatt, amelyek abból erednek, hogy kevesebb térben vannak, a nyomás növekedni fog.

K: Hogyan használjuk Boyle törvényét a nyomás- vagy térfogatváltozások kiszámítására?

V: Boyle törvényét két egyenlet - P1V1=k és P2V2=k - segítségével használhatjuk a nyomás vagy a térfogat változásának kiszámítására, ahol k állandó marad, míg P1/V1 vagy P2/V2 változik attól függően, hogy mit akarunk kiszámítani.

K: Alkalmazhatjuk ezt a törvényt valódi gázokra is?

V: Nem - ez csak ideális gázokra vonatkozik, mivel ezek között nincsenek intermolekuláris erők.

Keres