Zénón paradoxonai

Akhilleusz és a teknősbéka

Az Akhilleusz és a teknősbéka paradoxonában Akhilleusz a teknőssel futóversenyben áll. Akhilleusz például 100 méter előnyt ad a teknősnek. Tegyük fel, hogy mindkét versenyző állandó sebességgel kezd futni, az egyik nagyon gyorsan, a másik nagyon lassan. Bizonyos véges idő elteltével Akhilleusz 100 métert futott, és ezzel eléri a teknős kiindulópontját. Ez idő alatt a lassabb teknős sokkal rövidebb távot futott le. Ezután Achillesnek további időbe telik, amíg lefutja ezt a távolságot, és addigra a teknős már messzebbre jutott. Ezután Achillesnek még több időbe telik, mire eléri ezt a harmadik pontot, miközben a teknős ismét előrébb halad. Így valahányszor Akhilleusz eléri azt a helyet, ahol a teknős már járt, még mindig van hová tovább mennie. Ezért, mivel végtelen számú pont van, ahová Achillesnek el kell jutnia, ahol a teknős már járt, soha nem tudja megelőzni a teknőst.

A dichotómia paradoxon

Tegyük fel, hogy valaki szeretne eljutni A pontból B pontba. Először is, félúton kell haladnia. Ezután a hátralévő út felét kell megtennie. Ha így folytatjuk, mindig marad egy kis távolság, és a célt valójában soha nem érnénk el. Mindig lesz egy újabb szám, amit hozzá kell adni egy olyan sorozatban, mint például 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Tehát a mozgás bármely A pontból bármely más B pontba lehetetlenségnek tekinthető.

Commentary

Itt rejlik tehát Zénón paradoxona: a valóság mindkét képe nem lehet egyszerre igaz. Ezért vagy: 1. Valami baj van azzal, ahogyan az idő folyamatos természetét érzékeljük, 2. A valóságban nem létezik olyan, hogy az idő, a távolság vagy talán bármi más diszkrét vagy növekményes mennyisége, vagy 3. Az idő, a távolság, vagy bármi más, ami azt illeti, nem létezik. Létezik a valóságnak egy harmadik képe, amely egyesíti a két képet - a matematikai és a józan ész vagy filozófiai képet -, és amelynek teljes megértéséhez még nincsenek meg az eszközeink.

Javasolt megoldások

Kevesen fogadnának arra, hogy a teknősbéka megnyeri a versenyt egy atléta ellen. De mi a baj az érveléssel?

Ahogy elkezdjük összeadni az 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + .... sorozat tagjait, észrevehetjük, hogy az összeg egyre közelebb kerül az 1-hez, és soha nem haladja meg az 1-et. Arisztotelész (aki a forrása annak, amit Zénónról tudunk) megjegyezte, hogy ahogy a távolság (a dichotómia-paradoxonban) csökken, az egyes távolságok megtételéhez szükséges idő egyre kisebb és kisebb lesz. Kr. e. 212 előtt Arkhimédész kifejlesztett egy módszert, amellyel véges választ lehetett levezetni a végtelen sok, fokozatosan egyre kisebbé váló tag összegére (például 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). A modern számtan ugyanezt az eredményt éri el, szigorúbb módszerekkel.

Egyes matematikusok, mint például w:Carl Boyer, úgy vélik, hogy Zénón paradoxonjai egyszerűen matematikai problémák, amelyekre a modern számtan matematikai megoldást kínál. Zénón kérdései azonban továbbra is problematikusak maradnak, ha egy végtelen sorozatot lépésről lépésre megközelítünk. Ezt nevezzük szuperfeladatnak. A számtan valójában nem a számok egyesével történő összeadásából áll. Ehelyett azt az értéket (úgynevezett határértéket) határozza meg, amelyhez az összeadás közelít.

Lásd az angol Wikipédia szócikkeket

• Zénón paradoxonai
• A parabola kvadratúrája
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompson lámpája