Örvényesség (vorticity): definíció, képletek és alkalmazásai

Az örvényesség a folyadékdinamikában és az általános matematikai vektoranalízisben használt fogalom. Intuitíve a folyadék lokális „forgási” tulajdonságát, egy kis térfogatelemen belüli helyi szögsebesség jellegű forgást méri: megmutatja, hogy a részecskék hogyan „forognak” egymás körül a környezetükhöz képest.

Átlagos örvényesség és kapcsolat a cirkulációval

Egy kis, síkbeli területre vett átlagos örvényesség megadható a terület határa menti cirkulációval, azaz a határgörbe mentén vett tangenciális sebesség-integrállal (Γ), osztva a terület (A) nagyságával. A cirkuláció definíciója: Γ = ∮ v · dl. A definíció formailag:

Az átlagos örvényesség egy kis területű folyadékáramlásban egyenlő a kis terület határa körüli Γ {\displaystyle \Gamma } cirkulációval, osztva a kis terület A területével.

ω a v = Γ A {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}}

Pontbeli örvényességet úgy kapunk, hogy a területet a pont körül kicsinyítjük, azaz a határértéket vesszük:

ω = d Γ d A {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}}

Matematikai definíció: örvényesség mint forgás (curl)

Matematikailag az örvényesség egy vektormező, amely a sebességmező görbületéből, pontosabban a sebesség rotációjából adódik. Vektorosan:

ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}. }

Így az örvényesség komponensei a sebességmező parciális deriváltjaiból adódnak. Például síkbeli (2D), z=0 esetben, v = (u(x,y), v(x,y), 0) sebességnél az örvényességnek egyetlen nemtriviális komponense van:

• ωz = ∂v/∂x − ∂u/∂y,

és az örvényesség dimenziója 1/s (s−1).

Fizikai értelmezés

Az örvényesség kétszerese a helyi lineáris forgásnak (anguláris sebességnek) egy kis fluid részecske körül: a sebesség gradiensének antiszimmetrikus része felelős a forgásért, míg a szimmetrikus rész a nyírást (deformációt) írja le. A sebességgradiens felbontható egy szimmetrikus (strain rate) és egy antiszimmetrikus (rotáció) részre; az antiszimmetrikus részből az örvényesség vektora azonosítható.

A potenciális (irrotációs) áramlások egyik alapfeltétele, hogy az ω \displaystyle \omega } örvényesség szinte mindenhol nulla, kivéve a határrétegben vagy a határréteget közvetlenül határoló áramlási felületen.

Áramlástanban fontos fogalmak

• Örvények és örvénysűrűség: egy örvény (vortex) olyan régió, ahol az örvényesség koncentrált. A valós áramlásokban – pl. szárny mögötti farokörvény, ciklonok – ezek a struktúrák jelentős dinamikai hatással bírnak.
• Vortex-sorok, örvényszalagok és örvénysíkok: az örvényesség mentén húzódó vonalakat (vortex lines) és kötegeket (vortex tubes) gyakran használjuk a térbeli szerkezetek leírására; Helmholtz törvényei szerint egy ideális (viszkózitás nélküli) folyadékban a vortex tube mentén az örvényességfluxus állandó marad.
• Kelvin-cirkulációs tétel: inviscid, barotróp áramlásban egy anyagi hurkon vett cirkuláció időben állandó marad — ez az oka annak, hogy például örvénysávok hosszú ideig megőrizhetik identitásukat.

Örvényesség dinamikája (transzporttörvény)

Az örvényesség időfejlődése fontos a turbulencia és a háromdimenziós áramlások leírásában. A vektoros vorticity-transzportegyenlet általános formája (konzervatív alakban, számottevő egyszerűsítések nélkül):

∂ω/∂t + (v · ∇)ω = (ω · ∇)v − ω(∇ · v) + (1/ρ^2)∇ρ × ∇p + ν∇^2ω,

ahol a jobb oldalon szereplő tagok rendre: örvénynyújtás (vortex stretching) és -kompresszió, baroklin generáció (sűrűség- és nyomásgradiensek nem párhuzamossága), valamint a viszkózus diffúzió (ν a kinematikai viszkozitás). Inkompresszibilis (∇·v = 0), homogén sűrűségű folyadék esetén a harmadik tag eltűnik, így egyszerűsítve:

Dω/Dt = (ω · ∇)v + ν∇^2ω,

ahol D/Dt az anyagaiváltozás-operátor (anyagderivált). A (ω · ∇)v tag különösen fontos 3D-ben: ez felelős az örvények megnyúlásáért és erősítéséért, ami a turbulencia energiaspektrumának kialakulásában kulcsfontosságú.

Alkalmazások és példák

• Meteorológia: ciklonok és anticiklonok, tornádók és hurrikánok örvényszerkezete; a vorticity-térképek előrejelzési és analizálási eszközök.
• Aerodinamika: a Kutta–Joukowski tétel szerint egy tárgyra ható felhajtóerő a tárgy körüli cirkulációval áll kapcsolatban; szárnyak mögötti örvényesség és a felhajtóerő generálása.
• Turbulencia és keveredés: örvények létrejötte, kölcsönhatása és szétesése határozza meg a turbulens keveredést és energiaszállítást.
• Hidrodinamikai struktúrák: örvényszelekciók, örvényszigetek, örvénygyűrűk (vortex rings) vizsgálata kutatásokban és ipari alkalmazásokban.

Mérések és vizualizáció

Az örvényességet közvetlenül nem mindig mérjük, általában a sebességmezőből számítjuk numerikusan vagy kísérletileg: PIV (Particle Image Velocimetry), LDV vagy hagyományos anemometria adataiból kiszámított sebességgradiens alapján állítjuk elő. Vizuálisan gyakori technika a füst- vagy festékbetáplálás, amely láthatóvá teszi az örvényeket és a keveredést.

Megjegyzések és korlátok

• Potenciális áramlásoknál az örvényesség a teljes tér nagy részében zérus — ez jó közelítés lehet alacsony viszkozitású, sima felületek esetén, de valós helyzetekben a falaknál, határrétegekben, illetve szakadó áramlásokban az örvényesség domináns.
• A baroklin mechanizmus és a viszkózus hatások fontos szerepet játszanak az örvényesség generálásában és megsemmisülésében; ezért a valós áramlásoknál mindkettőt figyelembe kell venni.

Mivel az örvény egy koncentrált örvényességű régió, az ezekben a speciális régiókban lévő nem nulla örvényesség gyakran örvényekkel modellezhető és elemezhető, ami megkönnyíti a komplex áramlási jelenségek megértését és az alkalmazásokban történő felhasználását.

Kérdések és válaszok

K: Mi az az örvényesség?

K: Hogyan számítják ki az örvényességet?

Kérdés: Van-e az örvényességgel kapcsolatos alapfeltevés?

K: Mi történik, ha vannak olyan területek, ahol az örvényesség nem nulla?

K: Mit jelent a Γ?

K: Mit képvisel ω?

Keresés betűvel