A topológiai tér egy halmaz együtt egy olyan részhalmazokból álló családdal, amelyeket nyitott halmazoknak nevezünk, és amelyek a „közelség” intuitív fogalmát modellezik. A topológia általános értelemben az alakzatok szerkezetének matematikája; lásd még: topológia.

Formális definíció

Formálisan egy topológiai tér (X, T) egy X halmaz és egy T ⊆ P(X) család, melyre teljesülnek a következő axiómák:

  • ∅ és X elemei T-nek (azaz a ∅ és az egész halmaz nyitott);
  • tetszőleges sok nyitott halmaz uniója nyitott (az unió az T-ben marad);
    • véges számú nyitott halmaz metszete nyitott (különösen az üres metszet és két nyitott halmaz metszete nyitott).

Gyakran helyette a zárt halmazokkal dolgoznak: egy halmaz zárt, ha komplementere nyitott. Ebből következik, hogy tetszőleges metszet zárt halmazokból zárt, és véges uniójuk zárt.

Miért pont ezeket az axiómákat választjuk?

A fenti szabályok biztosítják, hogy a nyitott halmazok viselkedése megfeleljen a „közelség” fogalmának. Ha minden halmaz végtelen unióját, vagy minden végtelen metszetét is előírnánk valamilyen módon, könnyen olyan extrém helyzetekhez jutnánk, amelyek nem tükrözik az általunk kívánt intuitív tulajdonságokat. Például ha minden végtelen unió zárt lenne, és egyes általános terekben az egy pontot tartalmazó halmazok (singletonok) zártak, akkor bármely halmaz a pontjai singletonjaiból való unióként zárttá válna, így minden halmaz zárt lenne — ez sok esetben nem kívánatos. A véges metszetre való korlátozás ezért természetes kompromisszum.

Nyitott és zárt halmazok, szomszédság, belső és záródás

Nyitott halmaz: a topológia eleme. Zárt halmaz: komplementere nyitott.

Szomszédság (neighborhood) alatt általában olyan halmazt értünk, amely tartalmaz egy nyitott halmazt, amely magában foglalja az adott pontot; gyakran egyszerűsítve egy pont szomszédsága = tetszőleges nyitott halmaz, amely a pontot tartalmazza.

Belső (int(X)): egy adott A ⊆ X legnagyobb nyitott részhalmaza (minden olyan pont, amelyhez létezik nyitott halmaz A-n belül). Záródás (cl(A)): a legkisebb zárt halmaz, amely A-t tartalmazza (A összes határpontját is magába foglalja). A határpont (limit point) olyan pont, amelynek minden környezetében van A-beli pont a pont kivételével.

Példák topológiákra

  • Diszkrét topológia: minden részhalmaz nyitott. Ekkor minden halmaz zárt is, a struktúra a lehető leggazdagabb.
  • Indiszkrét (triviális) topológia: csak ∅ és X nyitott. Ekkor a leggazdaságosabb szerkezetet kapjuk.
  • Szokásos topológia ℝ-en: az olyan halmazok, amelyek uniói nyílt intervallumokból állnak, nyitottak. Ezt a topológiát metrikus térből (a szokásos távolsággal) kapjuk.
  • Metrikus terek: egy metrikus tér (X, d) természetes topológiát hordoz: az ε-sugarú nyílt gömbök (B(x, ε) = {y | d(x,y) < ε}) adnak egy bázist a nyitott halmazokhoz.

Alap (bázis) és alaphálók

Egy B családot bázisnak nevezünk, ha minden x ∈ X-hez létezik B ∈ B, amely tartalmazza x, és ha két báziselem metszete egy pont körül nem üres, akkor létezik olyan báziselem, amely a pontot tartalmazva benne van a metszetben. Egy bázisból előállítható az összes nyitott halmaz úgyszintén uniók segítségével. Alaphálók (subbasis) is használhatók a topológia megadására.

Folytonosság és képfeltételek

Folytonos függvény f : (X, T_X) → (Y, T_Y) akkor és csak akkor, ha minden nyitott halmaz előképe nyitott: f^{-1}(U) ∈ T_X minden U ∈ T_Y esetén. Ez a definíció általánosítja a metrikus terekben megszokott ε–δ jellegű definíciót.

Különleges fogalmak

  • Clopen: olyan halmaz, amely egyszerre nyitott és zárt (például ∅ és X mindig clopen).
  • T1 terek: azokat a tereket, ahol minden egyes pont zártnak számít (a singletonok zártak), T1-nek nevezzük. Számos hasznos tulajdonság ebből ered.

Összefoglalás

A topológiai tér alapja tehát egy halmaz és egy meghatározott szabályrendszer szerinti nyitott halmazok családja. Ezzel a szerkezettel formális értelemben képesek vagyunk megfogalmazni és vizsgálni a „közelség”, „folytonosság”, „határ” és hasonló fogalmakat nagyon általános környezetben, beleértve a metrikus tereken túlmutató helyzeteket is. Ugyanaz a ponthalmaz sokféle topológiát hordozhat attól függően, hogy mely részhalmazokat tekintjük nyitottnak (például diszkrét vagy indiszkrét eset).

Megjegyzés: az eredeti szövegben szereplő példák és intuitív magyarázatok megegyeznek ezzel a formálisabb leírással: a nyitott és zárt halmazok szerepe, a szomszédság fogalma és az axiómák indoklása mind ebből következik. Lásd még a halmazfogalmat: halmaza, valamint az általános halmazműveletekhez kapcsolódó kifejezéseket: véges, végtelen.