Topologikus tér
A topológiai tér a topológia, azaz az alakzatok szerkezetének matematikája által vizsgált tér. Nagyjából dolgok (pontoknak nevezett) halmaza, valamint egy módja annak, hogy megtudjuk, mely dolgok vannak közel egymáshoz.
Pontosabban, egy topológiai térnek van egy bizonyos fajta halmaza, az úgynevezett nyitott halmazok. A nyitott halmazok azért fontosak, mert lehetővé teszik, hogy egy másik pont közelében lévő pontokról, az úgynevezett pont szomszédságáról beszéljünk. Egy pont szomszédsága egyszerűen egy olyan nyílt halmaz, amely tartalmazza az adott pontot. Ha nem rendelkeznénk a nyílt halmazok fogalmával, nem tudnánk megfelelően definiálni a szomszédságokat. Ha egy pont szomszédságát úgy próbálnánk definiálni, mint bármely olyan halmazt, amely tartalmazza ezt a pontot, akkor az csak ezt a pontot és csakis ezt a pontot tartalmazná, nem pedig a hozzá közeli vagy a távolabbi pontokat. Van a zárt halmazok fogalma is, amelyek a nyílt halmazok kiegészítői. Vagyis minden olyan pont, amely nem tartozik egy adott nyílt halmazba, zárt halmazt alkot.
A nyitott halmazoknak bizonyos szabályokat kell követniük, hogy megfeleljenek a közelségről alkotott elképzeléseinknek. Bármennyi nyitott halmaz uniójának nyitottnak kell lennie, és véges számú zárt halmaz uniójának zártnak kell lennie. (A második szabály csak véges számú zárt halmazok esetén működik. Ez azért van így, mert sok esetben az egyetlen pontot tartalmazó halmaz zárt. Minden halmaz pontokból áll. Ha a második szabály végtelen számú zárt halmazra vonatkozna, akkor minden halmaz zárt lenne). Speciális esetben a minden pontot tartalmazó halmaz egyszerre nyitott és zárt. A pontok nélküli halmaz szintén nyitott és zárt.
Egy ponthalmaznak sokféle definíciója lehet, hogy mi a nyitott halmaz. Lehet csak bizonyos halmazokat nyitottnak gondolni, vagy több halmazt is nyitottnak. Akár minden halmazt is tekinthetünk nyitottnak. Ugyanaz a halmaz a nyitott halmazok különböző definícióival különböző topológiai tereket alkot.
Kérdések és válaszok
K: Mi az a topológiai tér?
A: A topológiai tér pontok halmaza, valamint egy olyan mód, amiből megtudhatjuk, hogy mely dolgok vannak közel egymáshoz. A matematikában az alakzatok szerkezetét tanulmányozzák.
K: Mik a nyílt halmazok?
V: A nyitott halmazok azért fontosak, mert lehetővé teszik, hogy egy másik pont közelében lévő pontokról, az úgynevezett pont szomszédságáról beszéljünk. Olyan bizonyos típusú halmazokként határozzák meg őket, amelyekkel jól definiálhatók a szomszédságok.
K: Mit kell követniük a nyílt halmazoknak?
V: A nyílt halmazoknak bizonyos szabályokat kell követniük, hogy megfeleljenek a közelségről alkotott elképzeléseinknek. Bármennyi nyitott halmaz uniójának nyitottnak kell lennie, és véges számú zárt halmaz uniójának zártnak kell lennie.
K: Mi a nyitott és zárt halmazok speciális esete?
V: A nyitott és zárt halmazok speciális esete az, hogy a minden pontot tartalmazó halmaz egyszerre nyitott és zárt, valamint a pontokat nem tartalmazó halmaz egyszerre nyitott és zárt.
K: Hogyan hatnak a különböző definíciók a topológiai terekre?
V: A különböző definíciók arra vonatkozóan, hogy mi a nyitott halmaz, hatással lehetnek a topológiai terekre azáltal, hogy csak bizonyos halmazokat tekintünk nyitottnak, vagy a szokásosnál többet, vagy akár minden halmazt nyitottnak tekintünk.
K: Képezhet-e végtelen számú zárt halmaz bármilyen halmazt?
V: Nem, ha a zárt halmazok végtelen száma megengedett lenne, akkor minden halmaz zártnak minősülne, mivel minden halmaz csak pontokból áll.
