Hamiltoni mechanika: definíció, Hamilton-egyenletek és alkalmazások

Hamiltoni mechanika: alapelvek, Hamilton‑egyenletek és gyakorlati alkalmazások — klasszikus és kvantum rendszerek energia- és mozgáselemzése részletesen.

A Hamilton-mechanika egy matematikai formalizmus arra, hogy leírjuk és előrejelezzük mechanikai rendszerek időbeli viselkedését. Ezt 1833 körül dolgozta ki William Rowan Hamilton ír matematikus. A módszer központi eleme a Hamilton-függvény vagy röviden Hamiltonián, amely a rendszer teljes energiáját adja meg (zárt rendszerben a energiája a kinetikus és a potenciális energia összege).

Alapfogalmak

A Hamilton-formalizmusban a rendszer állapotát kanonikus koordinátákkal és konjugált impulzusokkal adjuk meg: q_i (helyzet) és p_i (impulzus), ahol i = 1,…,n a szabadságfokok száma. Az összes lehetséges (q, p)-pár együttese a fázistér, amelynek dimenziója 2n. A Hamiltonián általában a kinetikus és potenciális energiából épül fel, azaz H(q,p,t) ≈ T(p,q) + V(q), de lehet explicit időfüggő is.

Hamilton-egyenletek

A rendszer mozgását a Hamilton-egyenletek adják meg, amelyek elsőrendű differenciálegyenletek készleteként írhatók fel. Kanonikus alakban:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i
dp_i/dt = −∂H/∂q_i

Ez a differenciálegyenlet-készlet határozza meg, hogyan változnak a koordináták és impulzusok az időben. Ha a Hamiltonián explicit nem függ az időtől, akkor a rendszer energiája állandó (H konstans), azaz a mozgás konzervatív.

Példák és alkalmazások

• Harmonikus oszcillátor: egy tömeg-rugó rendszer Hamiltoniánja H = p²/(2m) + (1/2) k q², ahol a Hamilton-egyenletek a klasszikus rezgést adják vissza.
• Inga: egyszerű vagy nemlineáris inga leírására is használható a Hamilton-mechanika; például a pontszerű inga potenciálja V(q) = m g l (1 − cos q), és ebből adódnak a mozgásegyenletek egy inga esetén, ahol az energia a mozgási és potenciális forma között cserélődik, majd vissza.
• Bolygómozgások: a többtest-probléma és a bolygók pályáinak vizsgálata hatékonyan történik Hamilton-felületre kiterjesztve.
• Adat a kvantummechanikához: a Hamiltonián kulcsszerepet játszik a kvantálásban: a klasszikus H-ból lesz a kvantummechanikában az energiaoperátor, és a Schrödinger-egyenlet iħ ∂ψ/∂t = Ĥ ψ írja le az állapotidőfejlődést (kvantummechanika).

Kapcsolat a Lagrange-formalizmussal és további fogalmak

A Hamilton-formalizmus a Lagrange-formalizmusból egy Legendre-transzformáción keresztül származtatható: a Lagrange-függvény L(q, q̇, t) impulzusokkal történő átalakítása adja a Hamiltoniánt. A Hamilton-rendszerekre jellemző további fontos fogalmak:

• Fázistér és szimplektsztikus szerkezet: a kanonikus transzformációk megőrzik a szimplektsztikus formát, ezek fontosak a mozgás invarianciáinak vizsgálatában.
• Poisson-záró: két függvény Poisson-zárója {f,g} = Σ_i (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i − ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i), amely a konstansok és szimmetriák kezelésére szolgál.
• Liouville-tétel: a Hamilton-dinamika megőrzi a fázistérben egy halmaz térfogatát (folyadék-analógia a fázistérben).
• Integrabilitás és káosz: bizonyos rendszerek (integrábilisak) zárható formában megoldhatók, másokban kis változtatások kaotikus, kiszámíthatatlan viselkedést okozhatnak.

Összefoglalás

A Hamilton-mechanika egységes és sokoldalú eszközt ad a klasszikus mechanika, a csillagászati dinamika és a kvantumelméleti leírások számára. A Hamilton-egyenletek egyszerű, kanonikus formája és a fázistérben adódó geometriai tulajdonságok miatt a formalizmus mélyebb betekintést nyújt a dinamika szerkezetébe, az energiamegmaradásba, a szimmetriákba és a kvantumosításhoz vezető útba.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a Hamilton-mechanika?

K: Ki és mikor találta fel a Hamiltoni mechanikát?

K: Mi a hamiltoni érték?

K: Mi a Hamiltonián egy zárt rendszer esetében?

K: Mik a Hamilton-egyenletek?

K: Milyen példák vannak olyan egyszerű rendszerekre, amelyeket a Hamiltoni mechanika segítségével lehet leírni?

K: Milyen egyéb alkalmazásai vannak a Hamilton-mechanikának?

Keresés betűvel