Rugalmas ütközés

Rugalmas ütközésről akkor beszélünk, amikor két tárgy ütközik, és kevés deformációval vagy anélkül pattannak vissza. Például két gumilabda egymásnak ütközése rugalmas. Két egymásnak ütköző autó rugalmatlan ütközés lenne, mivel az autók összeroskadnak, és nem pattannak vissza. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén (a legegyszerűbb eset) nem veszik el mozgási energia, így a két tárgy mozgási energiája az ütközés után megegyezik az ütközés előtti teljes mozgási energiájukkal. Rugalmas ütközés csak akkor következik be, ha a mozgási energia nettó átalakulása más formákba (hő, hang) nem történik meg. A másik szabály, amit a rugalmas ütközésekkel való foglalkozás során nem szabad elfelejteni, hogy az impulzusmomentum megmarad.

Egyenetlen tömegek rugalmas ütközésének mintája

Egydimenziós newtoni

Tekintsünk két részecskét, amelyeket az 1 és 2 aljelzőkkel jelölünk. Legyen m₁ és m₂ a tömegek, u₁ és u₂ az ütközés előtti sebességek, v₁ és v₂ pedig az ütközés utáni sebességek.

Az impulzusmegmaradás felhasználásával egy képlet felírása

Mivel rugalmas ütközésről van szó, az ütközés előtti teljes impulzus megegyezik az ütközés utáni teljes impulzussal. Adott az impulzus (p) kiszámítása a következőképpen történik

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Az ütközés előtti lendületet kiszámíthatjuk úgy, hogy:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

és az ütközés utáni lendületet:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Ha a kettőt egyenlővé tesszük, megkapjuk az első egyenletünket:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Az energia megőrzésének felhasználása egy második képlet megírásához

A második szabály, amit használunk, hogy a teljes mozgási energia ugyanaz marad, vagyis a kezdeti mozgási energia egyenlő a végső mozgási energiával.

A mozgási energia képlete a következő:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Tehát ugyanazokat a változókat használva, mint korábban: A kezdeti mozgási energia:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

A végső mozgási energia:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

A kettőt egyenlővé téve ( mivel a teljes mozgási energia ugyanaz marad):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

A két egyenletet összevetve

Ezek az egyenletek közvetlenül megoldhatók v_i megtalálására, ha u_i ismert, vagy fordítva. Íme egy mintafeladat, amely megoldható akár az impulzusmegmaradás, akár az energia megmaradása alapján:

Például:

1. golyó: tömeg = 3 kg, v = 4 m/s

2. golyó: tömeg = 5 kg, v = -6 m/s

Ütközés után:

1. golyó: v = -8,5 m/s

2. golyó: v = ismeretlen ( v-vel fogjuk ábrázolni )

A lendületmegmaradás felhasználása:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Miután elvégeztük a szorzást, majd mindkét oldalból kivontuk a 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} $3*(-8.5)$ értéket, megkapjuk:

12 - 30 + 25.5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Ha a bal oldalt összeadjuk, majd elosztjuk 5-tel {\displaystyle 5} $5$ , akkor megkapjuk:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , és az utolsó osztás után megkapjuk: 1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v} $\ 1.5=v$

Ezt a feladatot az energiamegmaradás segítségével is megoldhattuk volna:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 2 + 5 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Ha mindkét oldalt megszorozzuk 2-vel {\displaystyle 2} $2$ , majd elvégezzük az összes szükséges szorzást, akkor megkapjuk:

48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Ha összeadjuk a bal oldali számokat, mindkét oldalból kivonjuk 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ , és elosztjuk 5-tel {\displaystyle 5} $5$ , akkor megkapjuk:

2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Ha mindkét oldal négyzetgyökét vesszük, akkor a válasz v = ± 1.5 {\displaystyle v=\pm 1.5} $v=\pm 1.5$ .

Sajnos, még mindig a lendületmegőrzést kell használnunk ahhoz, hogy kitaláljuk, hogy v {\displaystyle v} $v$ pozitív vagy negatív.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a rugalmas ütközés?

V: A rugalmas ütközés az, amikor két objektum ütközik, és kis deformációval vagy anélkül pattannak vissza.

K: Mi a példa a rugalmas ütközésre?

V: Két gumilabda egymásnak pattogása példa a rugalmas ütközésre.

K: Mi az a rugalmatlan ütközés?

V: Rugalmatlan ütközésről akkor beszélünk, ha két tárgy összeütközik és összeroppan, és nem pattannak vissza.

K: Mi a példa a rugalmatlan ütközésre?

V: Két egymásnak ütköző autó lenne a példa a rugalmatlan ütközésre.

K: Mi történik egy tökéletesen rugalmas ütközésnél?

V: Tökéletesen rugalmas ütközés esetén nem veszik el mozgási energia, így a két tárgy mozgási energiája az ütközés után megegyezik az ütközés előtti teljes mozgási energiájukkal.

K: Hogyan történnek a rugalmas ütközések?

V: Rugalmas ütközések csak akkor fordulnak elő, ha a mozgási energia nem alakul át nettó módon más formákba, például hőbe vagy hangba.

K: Mi marad meg egy rugalmas ütközés során?

V: Rugalmas ütközésnél az impulzusmomentum megmarad.