Rugalmas ütközés: definíció, energia- és impulzusmegmaradás, példák

Rugalmas ütközés: letisztult definíció, energia- és impulzusmegmaradás elmélete gyakorlati példákkal (gumiklabda, ideális eset), számítások és szemléltető ábrák.

Szerző: Leandro Alegsa

17-03-2026 21:36

Rugalmas ütközésről akkor beszélünk, amikor két tárgy ütközik, és kevés deformációval vagy anélkül pattannak vissza. Például két gumilabda egymásnak ütközése rugalmas lehet, míg két egymásnak ütköző autó általában rugalmatlan ütközést mutat: az autók összeroskadnak, és nem pattannak vissza. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén (az ideális, legegyszerűbb modellben) nem vész el a rendszer teljes mozgási energia: a két tárgy mozgási energiájának összege az ütközés után megegyezik az ütközés előtti összeggel. Egy zárt (külső erőktől mentes) rendszerben emellett a lineáris impulzus (p = m·v) is megmarad; az impulzusmomentum (perdület) akkor marad meg, ha nincs külső forgatónyomaték.

Alapvető törvények

Impulzusmegmaradás: a teljes lineáris impulzus az ütközés előtt és után azonos, azaz ∑p_before = ∑p_after.
Kinetikus energia megmaradása (tökéletesen rugalmas): a teljes mozgási energia nem változik, azaz ∑(1/2 m v^2)_before = ∑(1/2 m v^2)_after.
Ütközési rugalmassági tényező (e): e = (relatív sebesség az elváláskor) / (relatív sebesség az összeütközéskor). Tökéletesen rugalmas esetben e = 1, rugalmatlan esetben e < 1, teljesen rugalmatlan (összetapadás) esetén e = 0.

Egydimenziós rugalmas ütközés (kéttest-probléma)

Legyen két test tömege m1 és m2, kezdeti sebességei u1, u2, végsebességei v1, v2. Az impulzus- és energiamegmaradásból kapható zárt alakú megoldás:

v1 = ((m1 - m2)/(m1 + m2))·u1 + (2 m2/(m1 + m2))·u2

v2 = (2 m1/(m1 + m2))·u1 + ((m2 - m1)/(m1 + m2))·u2

Példák és különleges esetek:

Ha m1 = m2 és az egyik test nyugalomban van (u2 = 0), akkor a mozgó test megáll, és a másik átveszi a sebességét (a sebességek kicserélődnek).
Ha m2 >> m1 (pl. kis test ütközik nagy testtel, amely gyakorlatilag nem mozdul), a kis test a visszapattanás során közel az ellenkező irányú sebességet kapja (rugós szerkezethez hasonló viselkedés).

Két dimenzió és ütközési geometriák

Két dimenzióban a lendületvektor mindkét komponensére érvényes a megmaradás. További feltételek (például ütközés centruma, szimmetria) szükségesek a végsebességek egyértelmű meghatározásához. Különleges érdekes jelenség: ha egy nyugvó golyót egyenlő tömegű golyó ütköztet, az ütközés után a két golyó sebességvektorai derékszöget zárhatnak be egymással (ez gyakran megfigyelhető biliárdütközéseknél).

Gyakorlati példák

Gázmolekulák közötti ütközések gyakran közelítenek rugalmasnak: a kinetikus energia egy része nem vész el makroszkopikus hővé az egyes ütközéseknél.
Biliárdgolyók és Newton-ingák jó közelítéssel rugalmas ütközést mutatnak.
Rugalmatlan macroscópikus ütközések (autóbaleset) során jelentős energia átalakul belső energiává (deformáció, hő, hang), így nem beszélhetünk tökéletesen rugalmas ütközésről.

Fontos megjegyzések

A tökéletesen rugalmas ütközés ideálisan rendezett modell — a valóságban mindig van némi energiaveszteség (hang, hő, belső deformáció), ezért a legtöbb makroszkopikus ütközés részben rugalmatlan.
Az impulzus (lineáris impulzus) mindig megmarad zárt rendszerben; az impulzusmomentum (perdület) megmaradása további feltétel hiányában csak akkor igaz, ha nincs külső forgatónyomaték.
Az ütközések vizsgálatakor gyakran célszerű a középponti rendszert (középponti tömeg) használni: ebben a koordináta-rendszerben a teljes impulzus nulla, és a tökéletesen rugalmas, középponti ütközés esetén a relatív sebesség iránya egyszerűen megfordul.

Egyenetlen tömegek rugalmas ütközésének mintája

Egydimenziós newtoni

Tekintsünk két részecskét, amelyeket az 1 és 2 aljelzőkkel jelölünk. Legyen m₁ és m₂ a tömegek, u₁ és u₂ az ütközés előtti sebességek, v₁ és v₂ pedig az ütközés utáni sebességek.

Az impulzusmegmaradás felhasználásával egy képlet felírása

Mivel rugalmas ütközésről van szó, az ütközés előtti teljes impulzus megegyezik az ütközés utáni teljes impulzussal. Adott az impulzus (p) kiszámítása a következőképpen történik

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Az ütközés előtti lendületet kiszámíthatjuk úgy, hogy:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

és az ütközés utáni lendületet:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Ha a kettőt egyenlővé tesszük, megkapjuk az első egyenletünket:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Az energia megőrzésének felhasználása egy második képlet megírásához

A második szabály, amit használunk, hogy a teljes mozgási energia ugyanaz marad, vagyis a kezdeti mozgási energia egyenlő a végső mozgási energiával.

A mozgási energia képlete a következő:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Tehát ugyanazokat a változókat használva, mint korábban: A kezdeti mozgási energia:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

A végső mozgási energia:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

A kettőt egyenlővé téve ( mivel a teljes mozgási energia ugyanaz marad):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

A két egyenletet összevetve

Ezek az egyenletek közvetlenül megoldhatók v_i megtalálására, ha u_i ismert, vagy fordítva. Íme egy mintafeladat, amely megoldható akár az impulzusmegmaradás, akár az energia megmaradása alapján:

Például:

1. golyó: tömeg = 3 kg, v = 4 m/s

2. golyó: tömeg = 5 kg, v = -6 m/s

Ütközés után:

1. golyó: v = -8,5 m/s

2. golyó: v = ismeretlen ( v-vel fogjuk ábrázolni )

A lendületmegmaradás felhasználása:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8.5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Miután elvégeztük a szorzást, majd mindkét oldalból kivontuk a 3 ∗ ( - 8.5 ) {\displaystyle 3*(-8.5)} $3*(-8.5)$ értéket, megkapjuk:

12 - 30 + 25.5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25.5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Ha a bal oldalt összeadjuk, majd elosztjuk 5-tel {\displaystyle 5} $5$ , akkor megkapjuk:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v}} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , és az utolsó osztás után megkapjuk: 1.5 = v {\displaystyle \ 1.5=v} $\ 1.5=v$

Ezt a feladatot az energiamegmaradás segítségével is megoldhattuk volna:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8.5 ) 2 2 2 + 5 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Ha mindkét oldalt megszorozzuk 2-vel {\displaystyle 2} $2$ , majd elvégezzük az összes szükséges szorzást, akkor megkapjuk:

48 + 180 = 216.75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216.75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Ha összeadjuk a bal oldali számokat, mindkét oldalból kivonjuk 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ , és elosztjuk 5-tel {\displaystyle 5} $5$ , akkor megkapjuk:

2.25 = v 2 {\displaystyle \ 2.25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Ha mindkét oldal négyzetgyökét vesszük, akkor a válasz v = ± 1.5 {\displaystyle v=\pm 1.5} $v=\pm 1.5$ .

Sajnos, még mindig a lendületmegőrzést kell használnunk ahhoz, hogy kitaláljuk, hogy v {\displaystyle v} $v$ pozitív vagy negatív.

Kérdések és válaszok

K: Mi az a rugalmas ütközés?

V: A rugalmas ütközés az, amikor két objektum ütközik, és kis deformációval vagy anélkül pattannak vissza.

K: Mi a példa a rugalmas ütközésre?

V: Két gumilabda egymásnak pattogása példa a rugalmas ütközésre.

K: Mi az a rugalmatlan ütközés?

V: Rugalmatlan ütközésről akkor beszélünk, ha két tárgy összeütközik és összeroppan, és nem pattannak vissza.

K: Mi a példa a rugalmatlan ütközésre?

V: Két egymásnak ütköző autó lenne a példa a rugalmatlan ütközésre.

K: Mi történik egy tökéletesen rugalmas ütközésnél?

V: Tökéletesen rugalmas ütközés esetén nem veszik el mozgási energia, így a két tárgy mozgási energiája az ütközés után megegyezik az ütközés előtti teljes mozgási energiájukkal.

K: Hogyan történnek a rugalmas ütközések?

V: Rugalmas ütközések csak akkor fordulnak elő, ha a mozgási energia nem alakul át nettó módon más formákba, például hőbe vagy hangba.

K: Mi marad meg egy rugalmas ütközés során?

V: Rugalmas ütközésnél az impulzusmomentum megmarad.

Keres