AlegsaOnline.com

Binomiális tétel és bővítés: definíció, képlet és példák

Binomiális tétel: világos definíció, képletek, bővítési szabályok és részletes példák lépésről lépésre, hogy gyorsan elsajátítsd a bővítést.

Szerző: Leandro Alegsa Létrehozás dátuma: 2022. április 5. Utolsó frissítés: 2026. március 8.

simple.wikipedia.org · Public domain

A binomiális bővítés egy kifejezést használ egy sorozat létrehozására. Olyan zárójeles kifejezést használ, mint ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} $(x+y)^{n}$ . Három binomiális kiterjesztés létezik.

Definíció és alapképlet

A klasszikus binomiális tétel azt adja meg, hogyan lehet kifejteni a (x+y)ⁿ kifejezést, ha n nemnegatív egész szám:

(x+y)ⁿ = ∑_k=0ⁿ C(n,k) x^n-k y^k

ahol C(n,k) = binomiális együttható (más néven kombináció) és képlete:

C(n,k) = n! / (k! (n-k)!)

Ezek az együtthatók számszerűen megegyeznek Pascal háromszög sorával, és teljesítik a rekurzív összefüggést:

C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
szimmetria: C(n,k) = C(n,n-k)

Példák

(x+y)² = x² + 2xy + y²
(x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Ha x = y = 1, akkor ∑_k=0ⁿ C(n,k) = 2ⁿ (az együtthatók összege).
Példa számértékre: (2+3)⁴ = ∑_k=0⁴ C(4,k) 2^4-k 3^k = 625.

Általánosítások: binomiális sor és nem egész kitevők

A binomiális tétel kiterjeszthető tetszőleges valós vagy komplex kitevőre binomiális sor formájában. Ha α bármely komplex szám és |t| < 1, akkor

(1+t)^α = ∑_k=0^∞ (α choose k) t^k

ahol a általánosított binomiális együttható:

(α choose k) = α(α-1)(α-2)...(α-k+1) / k! (és (α choose 0)=1).

Példák:

(1+t)^-1 = 1 - t + t² - t³ + ... , konvergencia |t| < 1 esetén.
(1+t)^1/2 = 1 + (1/2)t - (1/8)t² + (1/16)t³ + ... , |t| < 1.

Tulajdonságok és alkalmazások

Kombinatorika: C(n,k) azt adja meg, hány k elemű részhalmaza van egy n elemű halmaznak.
Valószínűségszámítás: a binomiális eloszlás sűrűségfüggvényében maguk az együtthatók szerepelnek.
Algebra és számelmélet: egyszerűsíti a hatványozott összegeket és segít azonosságok bizonyításában.
Analízis: a binomiális sor Taylor-sorok és közelítések előállítására használható.

Összefoglalás

A binomiális tétel egy egyszerű és rendkívül hasznos eszköz, amely megadja, hogyan fejthető ki (x+y)ⁿ. A legfontosabb esetek: a véges kifejtés n nemnegatív egész kitevőre, valamint a végtelen binomiális sor nem egész vagy negatív kitevők esetén (konvergenciahatárok mellett). Az együtthatókat kombinatorikus értelmezés és Pascal háromszög is leírja.

A képletek

Alapvetően három binomiális bővítési képlet létezik:

( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}} $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$		1. (Plusz)
( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}} $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$		2. (mínusz)
( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}} $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$		3. (Plusz-mínusz)

Hogy miért van ilyen 3 képlet, azt a szorzat egyszerű kibontásával meg tudjuk magyarázni:

( a + b ) 2 = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}} $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a - b ) 2 = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a 2 - 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}} $(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2 - b 2 {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}} $(a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$

A Pascal-háromszöget használva

Ha n {\displaystyle n} egész szám ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } $n\in \mathbb {Z}$ ), akkor használjuk a Pascal-háromszöget.

A ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}} $(x+y)^{2}$
kibővítése:

a Pascal-háromszög (1, 2, 1) 2. sorát kell megtalálni.
bővítsük ki az x {\displaystyle x} és az y {\displaystyle y} értékeket, így az x {\displaystyle x} teljesítménye n {\displaystyle n} -tól 0-ig minden alkalommal 1-gyel csökken, az y {\displaystyle y} teljesítménye pedig 0-tól n {\displaystyle n}-ig minden alkalommal 1-gyel nő.
a Pascal-háromszög számainak a megfelelő kifejezésekkel való szorzása.

Tehát ( x + y ) 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}}} $(x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}$

Például:

( 3 + 2 x ) 2 = 1 ⋅ 3 2 ⋅ ( 2 x ) 0 + 2 ⋅ 3 1 ⋅ ( 2 x ) 1 + 1 ⋅ 3 0 ⋅ ( 2 x ) 2 = 9 + 12 x + 4 x 2 {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}} $(3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}$

Tehát általában:

( x + y ) n = a 0 x n y 0 + a 1 x n - 1 y 1 + a 2 x n - 2 y 2 + ⋯ + a n - 1 x 1 y n - 1 + a n x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} $(x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}$

ahol a i {\displaystyle a_{i}} $a_{i}$ a Pascal-háromszög n sorában {\displaystyle n} és i pozíciójában {\displaystyle i} $i$ található szám.

Példák

( 5 + 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( 3 x ) 3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}} $(5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ 3 x + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ 27 x 3 = 125 + 225 x + 135 x 2 + 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}} $=125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}$

( 5 - 3 x ) 3 = 1 ⋅ 5 3 ⋅ ( - 3 x ) 0 + 3 ⋅ 5 2 ⋅ ( - 3 x ) 1 + 3 ⋅ 5 1 ⋅ ( - 3 x ) 2 + 1 ⋅ 5 0 ⋅ ( - 3 x ) 3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}} $(5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}$

= 125 + 75 ⋅ ( - 3 x ) + 15 ⋅ 9 x 2 + 1 ⋅ ( - 27 x 3 ) = 125 - 223 x + 135 x 2 - 27 x 3 {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}} $=125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}$

( 7 + 4 x 2 ) 5 = 1 ⋅ 7 5 ⋅ ( 4 x 2 ) 0 + 5 ⋅ 7 4 ⋅ ( 4 x 2 ) 1 + 10 ⋅ 7 3 ⋅ ( 4 x 2 ) 2 + 10 ⋅ 7 2 ⋅ ( 4 x 2 ) 3 + 5 ⋅ 7 1 ⋅ ( 4 x 2 ) 4 + 1 ⋅ 7 0 ⋅ ( 4 x 2 ) 5 {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}} $(7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}$

= 16807 + 12005 ⋅ 4 x 2 + 3430 ⋅ 16 x 4 + 490 ⋅ 64 x 6 + 35 ⋅ 256 x 8 + 1 ⋅ 1024 x 10 {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}}. $=16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}$

= 16807 + 48020 x 2 + 54880 x 4 + 31360 x 6 + 8960 x 8 + 1024 x 10 {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}} $\,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}$

Kérdések és válaszok

K: Mi az a binomiális kiterjesztés?

V: A binomiális bővítés egy olyan matematikai módszer, amely egy kifejezést használ egy sorozat létrehozására az (x+y)^n zárójeles kifejezéssel.

K: Mi az alapkoncepció a binomiális bővítés mögött?

V: A binomiális bővítés alapkoncepciója az, hogy egy binomiális kifejezés hatványát sorozattá bővítjük.

K: Mi az a binomiális kifejezés?

V: A binomiális kifejezés olyan algebrai kifejezés, amely két, plusz vagy mínusz jellel összekapcsolt tagot tartalmaz.

K: Mi a binomiális bővítés képlete?

V: A binomiális bővítés képlete (x+y)^n, ahol n az exponens.

K: Hányféle binomiális kiterjesztés létezik?

V: A binomiális kiterjesztéseknek három típusa van.

K: Mi a binomiális bővítés három típusa?

V: A binomiális bővítés három típusa a következő: első binomiális bővítés, második binomiális bővítés és harmadik binomiális bővítés.

K: Hogyan hasznos a binomiális bővítés a matematikai számításokban?

V: A binomiális bővítés hasznos a matematikai számítások során, mivel segít a bonyolult kifejezések egyszerűsítésében és az összetett problémák megoldásában.